反应扩散方程或方程组常用于物理、化学、生态等学科中一些实际问题的数学建模,其各类解的存在性及其动力学性态一直是微分方程理论研究和应用问题研究的重要课题.本博士学位论文主要研究了四类非线性反应扩散模型：受水流作用的水生生物模型、迁移和自然选择共同作用的基因演化模型、种群入侵演化模型及带双自由边界的燃烧模型,其中前两个模型是固定区域上的反应扩散问题,后两个模型是移动区域上的反应扩散问题.借助定性分析、最大值原理、比较原理、谱理论、分支理论和上下解方法等理论工具,探讨这些反应扩散问题中的一些参数如：扩散系数、对流系数、区域度量、初值大小、边界移动参数等对系统动力学行为的影响,得到了参数域的剖分以及不同参数域内相应系统的不同动力学性态,揭示了参数值相应的不同环境对实际问题产生的本质作用.理论上推广或完善了前人的工作,发展了处理这类问题的方法和技巧.应用上解释了一些观察到的实际现象,为理解这些实际问题的演化机制提供了理论依据.具体研究内容分为如下四个部分：生活在溪流或河流中的水生生物,在水流作用下不断被冲到下游或冲出原有的生态环境,从而导致物种数量下降甚至灭绝,但也有一些物种能在这种环境里一代一代生存下来,这类生物现象常被称为“漂移悖论”(drift paradox),早在1954年就被Muller [123]观察到.人们一直致力于探索这类物种能够持续生存的机制,并试图通过数学建模帮助理解这一生物现象.2001年,Speirs, Gurney [145]用如下反应扩散对流方程描述某一物种在水流作用下的动力学行为其中d|为扩散系数,α为水流速度.通过理论研究对“漂移悖论”给出一种解释：足够强的随机扩散能够平衡掉水流引起的偏向性运动,从而帮助物种持续生存.2011年,Vasilyeva,Lutscher[149]研究了相同的方程,但假设下游满足Neumann边界条件,即ux(L,t)=0,并得到类似结论.近来,Lutscher,Lewis,McCauley[111]推导出下游满足更一般的边界条件,dux(L,t)-αu(L,t)=-bαu(L,t),其中参数b表示相对于水流作用的一种损失率,并且b取不同值可以反映出不同的河流环境特征,如b=0说明下游没有损失,对应上游的“无流”边界条件；b=1说明下游处水流引起百分百损失,对应Neumman边界条件；b→∞说明下游损失很严重,不利于物种生存,对应Dirichlet边界条件本论文第二章的第一部分研究了满足这种一般边界条件的上述单个方程.通过建立临界区域长度和临界水流速度,我们给出了单个物种持续生存的充分必要条件,并发现b=1/2是该问题动力学行为发生转变的转折点.进一步,为了探索对流环境中的扩散机制,本章第二部分研究了相应的一类两个物种竞争模型,并假设两个物种仅扩散速度不同.借助谱理论和一些分析技巧,我们得到了0≤b<1时系统的全局动力学性态,结论表明扩散慢的物种一定被取代,增加扩散速度更适合自然选择,推广了Lou,Lutscher[105]中b=1的结果；然而b>1时,系统的动力学行为变得很不同,特别地,我们说明了b>3/2时,适中的扩散速度有可能被选择.这里我们指出由于边界条件中参数b的引进,半平凡解的稳定性不能通过文献[105]中的方法得到,然而本章给出的方法可同样处理情形b=1.另外,为了得到0≤b<1时系统的全局动力学性态,共存解的不存在性是一个难点,我们发展了新的方法和数学技巧来克服这一难点.这一研究成果已发表,见附录二论文1.基因遗传演化规律是群体遗传学理论研究的核心.自1937年Fisher[56]首次提出用偏微分方程描述在迁移和自然选择共同作用下基因频率变化规律以来,大量非线性反应扩散方程被用来描述基因的演化过程,其中常用的一类描述两种等位基因频率变化的PDE模型如下([125])d△u和g(x)u(1-u)(1+h-2hu)分别表示迁移和自然选择作用,h用来衡量占优程度：h<1,没有占优,共显；|h|=1,完全占优,完全显性；|h|>1,绝对占优,超显性.早期,Fleming [57](1975)和Senn[138](1983)分别用泛函和分支理论研究了|h|<1时该模型非平凡稳态解的存在性和稳定性.最近,倪维明教授等人发表了系列工作[127,110],系统地研究了退化情形h=-1,得到了非平凡稳态解的存在性,稳定性,以及极限形态与平凡解u=0和u=1的关系,而且他们的研究方法可统一处理|h|≤1的情形.本论文第三章在他们的工作基础上研究了|h|>1的情形.与|h|≤1不同的是此时系统出现三个有生物意义的平凡解：u=0,u=1+h/2h和u=1.类似于前人工作,我们得到非平凡稳态解的存在性,稳定性,以及极限形态与这三个平凡解之间的关系,但也观察到一些不同现象,如：通过构造一个具体实例,我们说明当迁移很慢,即d很小时,该问题有一组非平凡解围绕u=1+h/2h不断振荡,从而没有极限形态.进一步我们借助谱分析,分支理论和上下解方法,较全面地分析了该系统的动力学性态,结果表明(?)∮g(x)dx的符号和迁移速度d的大小对基因频率的分布至关重要,并且当h→-1时,我们的结果与[127,110]相关结论一致.这一研究成果已发表,见附录二论文3.生物种群入侵问题是生态学研究中的一个重要问题.2010年,杜一宏教授等人[44,40]用自由边界问题来描述入侵种群向外扩张变化的过程,提出并系统研究了如下模型其中自由边界x=h(t)表示扩张前沿.文献[44]假设空间环境齐次,即m(x)≡m0>0,证明了入侵种群满足二分法：要么成功“扩张”(h(t)→∞且u→m0),要么最终“灭绝”(h(t)→h∞<∞且u→0),并通过参数h0和μ给出了“扩张”和“灭绝”发生的充要条件,另外还刻画了自由边界的渐近速度k0=limt→∞h(t)/t.进一步,文献[40]将上述结果推广到高维径向对称情形,并假设空间环境弱异质,即0<m1≤m(r)≤m2,r=|x|,x∈Rn.值得注意的是入侵种群来到一个陌生环境,适合其生长的区域{x：m(x)>0}和不利其生长的区域{x：m(x)<0}在实际中并存(Cantrell, Cosner [20]).基于这种考虑,本论文第四章考虑了一类空间环境强异质情形,即m(z)可以改变符号,此时研究主特征值关于参数h0的变化规律变得十分困难,文献[40,44]中通过参数h0研究种群“扩张”或“灭绝”的方法不再适用.我们将扩散系数D视为变化参数,并分析清楚了主特征值关于参数D的变化规律,从而结合上下解方法给出入侵种群“扩张”或“灭绝”的充分条件.这一思路同样适用于弱异质情形,我们得到了入侵种群“扩张”或“灭绝”的充要条件,这与[40]中结论平行.另外,在更一般的假设条件下,我们得到了自由边界的渐近速度,推广了前人的工作.这些理论结果表明慢扩散总是有利于种群入侵成功,而扩散较快时,种群能否入侵成功与其初始密度u0和边界移动参数μ有关.这一研究成果已发表,见附录二论文2.爆破现象是燃烧理论研究中的一个重要课题.上世纪七八十年代,非线性发展方程的爆破理论得到迅速发展,其中一个被广泛研究的抛物型燃烧方程如下对于该方程,已有结果表明：p≤1+2/n时,所有非平凡解都在有限时刻爆破,而p>1+2/n时,可能出现全局解只要初值充分小,其中1+2*n为Fujita临界指数[61,73,86,155].2001年,法国数学家Souplet及其合作者[55,63]在移动区域上研究了上述方程其中自由边界x=h(t)表示温度传播前沿.他们用能量方法给出解爆破的充分条件,并首次得到全局快解(h(t)→h∞<∞且u→ 0)和全局慢解(h(t)→∞且u→ 0),对任意p>1.这极大地丰富了之前固定区域上的结果.受工作[55,63]的启发,本文第五章试图将这些结论推广到如下带非局部化反应项和双自由边界的燃烧模型(事实上,燃烧理论中非局部化反应项有多种类型,关于空间变量积分只是其中一种,详细可参考综述性文章[143].)非局部化反应项带来一定的研究困难,一方面它使原先的能量方法失效,需要寻找其他方法给出爆破条件；另一方面,由于它含有自由边界g(t)和h(t),这使得解的一些先验估计变得复杂.双自由边界提出更直接的困难,因为不知道两条自由边界是否会同时收敛或者同时发散.我们将运用一些分析技巧来克服这些困难.结论表明初值充分大时,解发生爆破；初值充分小时,全局快解存在；初值适当大时,全局慢解存在.这一研究成果已发表,见附录二论文5.