RSA 是目前最为流行和应用最广泛的非对称密码算法，其安全性基于整数分解困难问题。自RSA 诞生以来，以其简洁的原理和良好的实现一直受到理论和应用研究者的关注，经过近三十年的研究与应用依然生机盎然，这与许多的数学和密码学家对这一类密码体制所做的大量的和有意义的研究工作是分不开的。在前人研究工作的基础上，对这一类密码体制的相关问题作进一步研究，本文的主要工作如下： 1 ．证明了Paillier 加密体制可以在不降低安全性的前提下通过选取适当的参数提高体制的效率，分析了改进后加密体制的单向性与几个困难问题的等价关系，在此基础上，对此体制的效率作了几点进一步的改进，并给出了相应的安全性证明和效率分析。 2 ．分析了E. Bresson 等提出的一种加密体制，指出它存在三点不安全因素，不能抵抗适应性选择密文攻击，并尝试在抵抗适应性攻击方面对该体制进行了改进，提高其安全性；另外，分析了Y. Mu 等三组m out n 不经意传输协议的安全性，指出了其中的三点不安全因素，给出了改进协议相应的建议。 3 ．研究了DH 密钥比特安全性的结果，用推广的“奇偶检测法”来恢复用p 进数表示的指数x 的低“比特”位，这一结果可视为W. C. Li 等关于LUC 、XTR 密钥比特安全性分析问题一个部分解答；另外，对W. Bos ma 关于基于离散对数密码体制的优化指数问题的结果做进一步研究，改进了W. Bos ma 等在有限域扩张次数为奇数情况下的平凡结果，并指出Bosma 猜想正确时的情况，这一细化有利于探讨优化指数大于XTR 的高效的密码体制。 4 ．对可证明安全密码原型问题作进一步研究，用Lucas 序列构造了一种等价于分解RSA模数的密码体制，并给出了一个签名方面的应用，恢复明文和伪造签名等价于分解RSA 模数，该体制比现有的LUC 密码体制效率高；另外，对LFSR 序列构造公钥概率密码体制原型做一点研究性工作，基于LFSR 序列给出两种不同加密方式的语意安全的加密算法方案，最后分析了给出方案的安全性，其单向性和语意安全性分别等价于LFSR 高次剩余问题和LFSR 判断高次剩余问题，对这一问题的困难性需要从数学角度作进一步的研究。 5 ．分析了M. Gysin 等提出的对RSA 一类密码体制循环攻击方法的有效性，指出即使选取“弱”的RSA 模数，该攻击仍然不能对RSA 模数造成不可忽略的影响，于是尽管这一攻击具有一定的理论意义，它仍然不能作为选择强安全RSA 模数的理由；另外，探讨了LFSR 序列在整数分解方面的一个应用，并给出了其可行性的一个简单分解示例。