多孔介质中流体流动的数学物理模型广泛应用于描述油藏开发过程中[6][9][57]。多孔介质中的流体运动所遵循的基本规律都是建立在质量守恒、动量守恒和能量守恒基础之上的。油藏研究的目的就是预测油藏未来走向动态,找到提高最终采收律的方法和途径。将需要模拟的物理系统用适当的数学方程表示,这个过程一般都作必要的假设条件。从实际的观点来说,为了使问题易于处理,这种假设是必须的。构成油藏数学模型的方程组一般都比较复杂,不能用解析的方法求解。所以必须要在计算机上近似求解。而在计算机上数值模拟油藏之前,需要建立油藏的数学模型。多孔介质中流体流动的物理模型在数学上表现为依赖于时间的强耦合的非线性偏微分方程组。由于多孔介质中这类模型十分复杂,流体运动所遵守的质量守恒集中体现物质的平衡,实际生产中表现为注产体积以及质量的平衡;而动量守恒主要是对速度与压力的关系式的描述;实际生产中主要关心物质的平衡和压力分布。所以需要进一步地引入各种假设对模型进行简化,降低耦合性、非线性强度。比如作为经验公式引入的Darcy定律以及其他非Darcy律,以及假设流体不可压或者微可压等等。假设流体不可压缩,化简的质量守恒方程和速度压力的Darcy定律耦合是常用的数学模型,可以将速度消去,求解只含有压力的椭圆方程。如果假设流体微可压缩,引入微可压缩系数,化简的质量守恒方程和Darcy定律耦合,将速度消去,则得到只有压力的抛物方程。若不消去速度,可以直接对混合弱形式构造逼近格式,其中dual型格式参考文献主要有[16][17][18][26][51][52]。primal型格式可以参考[28] [74]。Darcy定律主要描述流体流速u和压力p的梯度之间的线性关系,描述了多孔介质中Newton流体的渗流现象。当Darcy速度u特别小的时候,Darcy定律才成立[6]。Forchheimer在1901年观察到当Reynolds数比较大(大致Re > 1)[38]时,压力梯度与速度之间存在非线性关系。Forchheimer模型推导或经验公式的工作可以参考[66][77][21][2][35][43]。Forchheimer方程数学理论方面的工作可以参考[66][31][69]。Forchheimer方程本质上是一类非线性单调非退化方程,类似的问题还有p-Laplacian问题,拟Newtion问题,处理这一类单调非线性问题的技巧和方法可以参考[30][29][32][33]。一般这类数学模型的偏微分方程组结构比较复杂,耦合求解难度大。同时因为多孔介质类型多样,尺度变化大,导致数值模拟计算量大,收敛速度较慢。所以运用计算机对这类数学模型进行大规模、快速保精度的数值求解成为科学与工程中的迫切需求。近些年来,已经有了很多关于Darcy-Forchheimer模型的数值分析工作。其中Girault和Wheeler在[38]中已经通过证明非线性算子A(v)=μ/σK-1v+β/ρ|v|v的单调性、强制性以及半连续性,从而证明了 Darcy-Forchheimer模型解的存在唯一性,同时给出了一个合适的inf-sup条件。然后他们考虑分别用分片常数和非协调Crouzeix-Raviart混合元来逼近速度和压力。他们证明了离散的inf-sup条件以及给出的混合元格式的收敛性。同时他们用Peaceman-Rachford [58]类型的迭代方法来求解离散的非线性代数方程,并给出了这类迭代法的收敛性。在Peaceman-Rachford迭代方法中,非线性方程通过和散度方程解耦,然后求解一个封闭的方程。Lopez,Molina, Salas在[49]中实现了文献[38]中所提方法的数值实验,并且针对Newton法和Peaceman-Rachford迭代方法求解非线性方程做了对比。他们指出对比Peaceman-Rachford迭代方法求解非线性方程,Newton法求解非线性方程并没有优势。因为在每一步迭代中,Newton法需要求解一个Jacobian矩阵,然后再求解一个线性鞍点系统,但是在Peaceman-Rachford迭代中,只需要针对解耦之后的非线性方程计算一个人为引入的中间值,然后求解一个简化的线性鞍点问题。对比形成一个Jacobian矩阵所需要的工作量,求解解耦之后的非线性方程消耗的工作量可以忽略不计。而且,在选取同样的迭代初值的条件下,Peaceman-Rachford迭代比Newton法收敛所需的迭代步数少。细节可以参考文献[49]。Park在文献[56]中对时间依赖的Darcy-Forchheimer模型提出了一种半离散的混合元格式。Pan和Rui在文献[54]中对Darcy-Forchheimer模型给出了一种基于 Raviart-Thomas (RT)元或者 Brezzi-Douglas-Marini (BDM)元逼近速度,分片常数逼近压力dual形式的混合元方法。他们将Darcy-Forchheimer 模型中速度化为压力梯度的函数, 得到了一个非线性单调只含压力的椭圆偏微分方程,并且基于单调非退化方程的正则性证明了连续和离散问题的inf-sup条件,证明了解的存在唯一性。最后用Darcy-Forchheimer算子的单调性给了速度L2,L3范数,压力L2范数的先验误差估计。Rui和Pan在文献[63]中给出了 Darcy-Forchhcimer模型的块中心有限差分方法,其中块中心有限差分在合适的数值积分公式下可以认为是最低阶的RT-P0混合元方法。Rui, Zhao和Pan在文献[64]中针对Darcy-Forchheimer模型中的Forchheimer系数是变量的情况,即β(x),给出了相应的块中心有限差分方法。Wang和Rui在文献[76]中对Darcy-Forchheimer模型构造了一种稳定的Crouzeix-Raviart混合元方法。Rui和Liu在文献[62]中对Darcy-Forchheimer模型介绍了一种二重网格块中心有限差分方法。Salas, Lopez,和Molina在文献[67]中给出了他们在文献[49]中实现的混合元方法的理论分析,并给出了解的适定性分析和收敛性证明。上述提到的大多数前人的工作主要致力于对Darcy-Forchheimer模型的离散方法。除了在文献[38]中提到的Peaceman-Rachford迭代法,很少有工作探索针对离散后得到的非线性鞍点问题的快速解法,而这正是本篇论文的出发点和主题。多重网格方法是许多高效求解线性和非线性椭圆问题的方法之一。需要特别指出的事,对非线性问题,我们不会再得到一个简单的线性残量方程,这就是处理线性和非线性问题的最重要的区别。这里我们所用的多重网格格式是我们常用来处理非线性问题的多重网格方法,称为全近似格式(FAS) [20]。因为我们在求解粗网格的问题时用的是全近似,而不是只用误差。本文对多孔介质中Darcy-Forchheimer模型构造了基于协调和非协调混合元方法离散分别给出了有效的非线性多重网格方法。我们用Peaceman-Rachford迭代法作为多重网格方法中的光滑子来解耦非线性方程和质量守恒方程。我们把线性的鞍点问题简化成一个对称正定的问题求解,并且说明了我们这种处理方式的有效性。针对用来解耦非线性方程和限制条件的分裂参数α,文献[49]中对Forchheimer系数β不同的取值,总是取α = 1,而我们找到了一个更好的值,并且通过比较迭代收敛需要的次数和CPU计算时间说明了我们取的值更好。我们做了很多数值实验来说明我们构造的多重网格求解器的有效性。我们构造的方法收敛即不依赖于离散网格的大小也不依赖于Forchheimer数的取值,并且我们的计算复杂度是接近于线性的。需要提醒的是,构造一个快速算法不依赖于一些重要的参数是一件不容易的事情,例如文献[50, 53]中对一类线性Stokes方程的处理。本文组织结构如下:第一章,简要介绍了多孔介质中Darcy-Forchheimer方程及其适用范围,以及质量守恒定律及其在各种假设下的变形,本文所处理的数学模型,求解的方程组就是基本方程的耦合。第二章,简要回顾了求解离散方程的基本数值计算方法。包括线性方程组的直接解法以及线性迭代解法和非线性迭代解法。除了介绍不同的数值方法外,还简要概述了每种方法有效适用的情况。同时说明了基础迭代法的优势和缺陷。经典的迭代法本质上仅起到“光滑”作用,即它能很快地消去残量中的高频部分,但对低频部分,效果却不是很好。以经典迭代法求解齐次Dirichlet边界的二维Poisson问题为例来说明迭代法的光滑性质。第三章,介绍了多重网格方法最基本的思想和最基础的算法。首先介绍了线性多重网格方法,因为对线性问题误差满足残量方程,但是它对非线性问题并不适用,对非线性问题,则需要采取不同的策略。随之介绍了两种常见的非线性多重网格方法。第四章,对多孔介质中Darcy-Forchheimer模型构造了基于协调混合元方法离散给出了一种有效的非线性多重网格方法。我们用Peaceman-Rachford迭代法作为多重网格方法中的光滑子来解耦非线性方程和质量守恒方程。我们把线性的鞍点问题简化成一个对称正定的问题求解,并且我们说明了我们这种处理方式的有效性。针对用来解耦非线性方程和限制条件的分裂参数α,文献[49]中对Forchheimer系数β不同的取值,总是取α= 1,而我们找到了一个更好的值,并且通过比较迭代收敛需要的次数和CPU计算时间说明了我们取的值更好。我们做了很多数值实验来说明我们构造的多重网格算法的有效性。我们构造的方法收敛即不依赖于离散网格的大小也不依赖于Forchheimer系数的取值,并且我们的计算复杂度是接近于线性的。本部分内容出自文章[42],该文章已在期刊Journal of Scientific Computing(SCI)在线发表。第五章,对多孔介质中Darcy-Forchheimer模型构造了基于非协调混合元方法离散给出了一种有效的非线性多重网格方法。非协调混合元多重网格和协调混合元多重网格相比最重要的区别是离散空间不嵌套,因此在对网格函数在不同网格之间的转换时,我们不能再由简单的自然映射得到。关键的问题就是如何来构造网格之间的投影算子。和协调多重网格方法一样,我们做了很多数值实验来说明我们构造的多重网格算法的有效性。我们构造的方法收敛即不依赖于离散网格的大小也不依赖于Forchheimer系数的取值,并且我们的计算复杂度是接近于线性的。