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函数空间上的算子理论是算子理论的一个重要组成部分，如何用符号函数的性质来刻画这些算子的性质是函数空间上算子理论的核心问题.本文研究若干函数空间上的Toeplitz算子，Hankel算子以及对偶Toeplitz算子的乘积和交换性.本文结构如下: 第一章简要介绍了函数空间上算子理论的研究背景，发展历程和现状. 第二章在单位圆盘Hardy空间上研究了Hankel算子和Toeplitz算子的乘积的有限和何时为零，然后描述了Toeplitz算子和Hankel算子的乘积何时是一个Hankel算子或Toeplitz算子的紧扰动，最后刻画了该乘积何时为一个Toeplitz算子的有限秩扰动. 第三章研究了多圆盘Hardy空间上Toeplitz算子的交换性问题，并通过对区域的维数进行数学归纳法，得到结论:两个Toeplitz算子可交换当且仅当它们的换位子的Berezin变换是n-调和函数. 第四章考虑单位球加权多重调和Bergman空间上的Toeplitz算子.当Toeplitz算子的符号是某种分别径向函数或者全纯单项式时，我们描述了与之可交换的Toeplitz算子，然后我们给出Toeplitz算子有限秩乘积问题的一个部分解. 第五章研究对偶Toeplitz算子的乘积问题.首先在单位球Bergman空间的直交补空间上建立对偶Toeplitz代数的结构定理，并用它给出了对偶Toeplitz算子的有限乘积的有限和是单个对偶Toeplitz算子的紧扰动的一个等价条件.然后描述了对偶Toeplitz算子的乘积的有限和何时等于一个对偶Toeplitz算子.最后在单位球Hardy空间的直交补空间上得到了类似的结论.