“Ten-fold way”拓扑周期表告诉我们,不同的空间维度和对称性对应不同的拓扑分类。但是这个拓扑周期表中只考虑了时间反演对称性、粒子-空穴对称性和手征对称性,晶体中丰富的空间群对称性却暂时没有在考虑范围之内。拓扑绝缘体、拓扑晶体绝缘体以及高阶拓扑绝缘体的发现让科学家们意识到晶体对称性也可以带来新的拓扑态,材料中对称性保护的拓扑态存在更丰富的分类。因此晶体中丰富对称性下对应的拓扑分类便成了拓扑能带论中接下来需要解决的问题。受Fu-Kane公式的启发,普林斯顿和哈佛两个小组几乎在同一时间分别发现晶体材料中的拓扑信息包含在布里渊区的几个高对称点中这一关键信息。他们都提出,所有不能绝热地演化到原子绝缘体态的体系都是拓扑非平庸的,但是在对230种空间群进行拓扑分类的时候使用了不同的思路。哈佛大学研究组指出,230种空间群的拓扑分类对应于一系列阿贝尔群的直乘,即对称性指标分类Zn。本文中的一部分工作便是在哈佛大学的研究成果之上,解释了230种空间群在有无自旋轨道耦合时对称性指标Zn的拓扑含义以及具体公式。后来我们利用对称性指标的公式和第一性原理做了电子材料的高通量计算,判别出将近九千种拓扑电子材料,并将数据整理到材料库网站上http://materiae.iphy.ac.cn。随着拓扑能带论的发展、完善,物理学家们对拓扑态的研究已经从电子系统延展到声子、光子、磁子等玻色子系统中。本论文的另外一个工作便是利用第一性原理计算研究了MSi过渡金属单硅化物家族中的声子拓扑。我们在MSi发现了由时间反演对称性和晶体空间群对称性保护的两种双外尔点,分别拥有三重简并和四重简并的能带。该结果已经被高分辨率非弹性X光散射实验验证。