近年来,分数阶微积分及分数阶微分方程(方程组)理论在不断发展和完善,它们已经在很多领域得到了非常广泛的应用.对分数阶微积分及分数阶微分方程(方程组)的研究有着十分重要的理论意义和实际应用价值,特别是从实际问题中抽象出来的分数阶微分方程(方程组)成为很多数学工作者的研究热点.在这篇硕士学位论文中,我们主要考虑分数阶微分方程多点边值问题解的存在性以及分数阶耦合微分方程组的正解的存在性.在这里,我们考虑的正解是指它的两个分量都是正的,这与我们通常所说的正解(其中一个分量为正的,另一个是非负的)有明显的区别.为了确保我们获得的解的两个分量都是正的,我们借助在乘积锥K1×K2上的相应的紧连续映射的不动点定理来解决这一问题.针对乘积锥上紧连续映射的不动点指数的计算,我们要建立不动点指数的乘积公式并且我们得到了乘积锥上的不动点定理;作为应用,我们分别考虑了“超一次线性”分数阶微分方程组的正解的存在性.为此,我们在第二章中,给出了变形的Leray-Schauder定理,拓扑度的基本概念和基本性质以及运用拓扑度的有关知识建立了乘积空间中各类映射的拓扑度的乘积公式,尤其是乘积锥上的紧连续映射的不动点指数公式,进一步给出了乘积锥上的不动点定理.作为具体的应用,在第三章我们考虑了分数阶微分方程多点边值问题解的存在性,在第四章及第五章中,我们分别考虑了“超一次线性”分数阶微分方程组积分边值问题正解的存在性.通过在乘积锥中选取合适的开集,并在所取得的开集边界上验证相应的紧连续映射满足一定的边界条件,利用第二章所给出的相关的不动点定理,我们最终获得了这两类分数阶微分方程组的正解的存在性.