量子纠缠的神秘之处在于,当对量子系统的某一个局部进行测量时,它可以立刻影响到很远处的另一个量子测量。这种现象的的本质是来源于量子态的非局域性。当今量子信息传输的基础理论就是建立在这种非局域性之上。如何去度量与理解量子纠缠是一个长期而且很吸引人的研究方向。从贝尔不等式开始,现在关于量子纠缠的数学理论以及物理实验都已经发展了很多。要真正的理解量子纠缠,人们不得不回答下面的问题:1)如何判断是否纠缠,2)如何利用纠缠,3)如何量化纠缠。本文的重点是研究纠缠熵,而纠缠熵是量化纠缠的一个非常重要的物理量。量子纠缠熵作为一个非常基础的物理量,人们还利用用它来研究其他一些重要问题,比如黑洞熵,低温量子多体系统的临界现象,全息原理等等。在某种程度上量子纠缠熵将凝聚态物理、量子信息理论以及高能物理联系在一起。从一方面,纠缠熵可以作为一维量子系统相变的序参量,比如一维的伊辛模型,在临界点附近纠缠熵是发散的。从另一方面它也可以被看成高亏格黎曼曲面上的共形场论,而对这类问题的研究最多的还是出现在微扰弦论中,人们试图像微扰量子场论中一样,计算弦论中的多圈散射振幅,也就是高亏格黎曼曲面上的关联函数。尽管高亏格g>2的计算目前仍然是一个非常困难的问题,但是幸运的是我们面对的是一类非常特殊的黎曼曲面,弦论中发展出来的一些工具已经足够。最后值得一提的是,纠缠熵与AdS/CFT猜想也有很重要的联系,人们甚至已经发现,二维量子系统中的量子纠缠熵可以是三维引力理论中的测地线长度。除了物理上的应用以外,在数学上,黎曼曲面上的共形场论与模形式也有很多有趣的联系,比如月光理论(moonshine module)。本文主要研究的对象是二维的紧致的自由复标量场。最重要的工作分成三部分:(1)第一部分研究的是这样一类物理问题:考虑一个紧致的自由复标量场定义在一个无限大的一维空间,这时如果存在一个子系统A,它可以是有一个或者多个间隔构成,那么能否找到子系统与其补集之间的纠缠熵?对这类问题最早的研究只考虑了于子系统只含有一个间隔的情况。对于这种情况计算相对比较简单,人们只需要引入一类特殊的twist顶点算子,然后计算它们的两点关联函数就可以了。而且如果只有一个间隔的话,纠缠熵没有来至瞬子的贡献。后来人们又讨论了子系统中有两个间隔的情况,事实证明这是一个非常不一样的问题。首先在共形场论中四点关联函数无法通过共形对称性完全确定,这就注定了它的计算要比两点关联函数复杂的多。另外,两个间隔的存在使得世界面流型具有了非平庸的拓扑结构,因此还必须引入了瞬子的贡献才能得到正确的结果,这一点在早期的工作中甚至曾经被忽视但后来又被更正了。本文作者希望将这一结果推广到子系统包含到任意多的情况,但是之前的方法并不有效,主要的原因是出在经典部分的计算引入了冗余的经典解,由于这类问题本质上是在计算CP1的覆盖曲面上的共形场论,因此本文利用代数曲线的一些工具,提出了一种更直接的办法来找到所有相互独立的经典解,并得到了包含任意间隔情况的纠缠熵。(2)第二部分研究的物理问题是:同样是一个紧致的复标量场,但是定义在一个有限的圆上,考虑一个子系统A包含两个间隔,本文计算了其在有限温度下的n=2的R′enyi纠缠熵,从计算的过程可以看出,它比之前的只有一个间隔的情况要复杂的多。因此为了验证其正确性,本文还继续研究了这类纠缠熵在一些特殊极限下的性质,比如它满足T对偶。本文还研究了纠缠熵的低温展开,对展开项的首要贡献项取了无限大系统极限,我们得到与其他人相同的结果,进而又对第一阶热力学修正项进行展开,也成功的找到了与前人相似的结果。(3)第三部分的研究是为了将第二部分的研究进一步推广,计算在有限温度下,有限系统内,任意多间隔的纠缠熵。与第一部分研究不一样的地方在于,这类问题对应的黎曼曲面是环面的覆盖曲面,如之前CP1的覆盖曲面不同,我们很难用代数曲线来描述这类曲面。因此为了找到所有的满足运动方程的解,本文提出了新的方法,给出了这类曲面的第一同调群以及第一上同调群的正则基失,利用他们能够找到所有相互独立的运动方程的解,从而提出一个比较有效的方法来得到最一般的情况下的配分函数。