随着2015年2月证监会批准上交所推出上证50ETF期权交易品种,中国资本市场正式进入了期权时代。虽然期权在我国才刚刚推出不久,市场不完善,交易也不是非常活跃,但是期权的推出对于完善我国资本市场的融资功能,满足投资者风险对冲的需求有重要意义。回顾期权的发展史,期权首先是在美国的芝加哥期权交易所(CBOE)推出的。1973年,随着CBOE推出了标准化的期权交易合约,期权经历了一个高速的发展阶段,从一开始只有欧式期权交易,到后面衍生出美式期权、亚式期权、障碍期权等复杂期权,而且期权的标的资产从股票扩展到股票指数、外汇、利率甚至期货期权等。期货、期权、互换等金融衍生品随着欧美国家金融创新的不断加深而不断地发展,现如今,期权的交易已经变得愈加频繁,日益成为资本市场一种重要的风险对冲工具。期权就它的性质来说,权利义务是不对等的。譬如说欧式看涨期权,期权买方可以在未来某个具体的时间购买某种标的资产。如果在到期日标的资产价格没有达到期权规定的执行价格,此时期权就没有价值了,投资者也不会去执行,那么他的损失就是当初购买这个期权的费用。但是如果在到期日标的资产价格超过期权规定的执行价格,他就可以执行期权,那么此时执行期权得到的收益就是标的资产价格与执行价格之差再减去期权费用。从这个例子可以看出,对于期权买方来说,他可以根据标的资产价格与执行价格的关系来选择行使或者放弃这个权利,相应的,他的收益在执行与放弃行使期权时也是不同的：放弃期权时,他的损失就是期权费用；执行期权时,他的收益理论上是可以非常大的,这种权利义务的不对等造成了收益上的不对等。随着期权在交易所上市交易,如何为期权进行价值评估就是一个非常重要的问题。欧式期权可以说是所有期权种类中最简单的一种,之后各种复杂的期权也应运而生。对于期权定价这个问题,学者们首先考虑为最简单的欧式期权进行定价,然后再考虑其他复杂期权的定价问题。1973年,Black和Scholes提出了著名的BS模型,掀起了期权定价问题的革命。不同于之前学者的研究,他们主要是从股票价格服从的随机过程方面进行分析,通过一系列的假设条件和推导得到了一个偏微分方程,然后解这个偏微分方程就得到了欧式看涨期权的定价公式。虽然他们模型的假设条件过于理想化,通过BS模型计算得到的期权价格与实际期权价格也有差别,但是他们为期权定价问题提出了一种新的解决思路,后续的许多学者就在BS模型的基础上,通过改变BS模型的假设以及标的资产服从的随机过程得到了许多其他期权定价模型并产生了重大的影响。BS模型的推出推动了期权定价的程序化操作,促进期权的广泛交易,提高了资本市场的运作效率。然而BS模型并不是完美无缺的,由于该模型有一系列的限制条件,使得由BS模型得到的理论结果与实际结果相差较大。从BS模型中可以看到,对期权价格产生影响的因素主要有标的资产的价格、期权执行价格、分红率、无风险利率、期权剩余到期时间和波动率,但是BS模型假定股票价格服从的几何布朗运动的波动率为一个常数,就将波动率对期权价格的影响排除在外。事实上,通过将实际的期权价格代入到BS模型中,反解方程得到的波动率并不是一个常数,通过这种方式得到的波动率称为隐含波动率。当标的资产相同时,将到期日相同执行价格不同的期权的隐含波动率连成一条曲线就得到了隐含波动率曲线。许多学者经过实证研究发现实际得到的隐含波动率曲线并不是一条直线,而是一条呈现出弯曲或者倾斜形态的曲线。从波动率的角度考虑,BS模型是无法解释这种现象的,这是BS模型的缺陷之一。一种理论如果无法解释某种现象必然会促进其他理论的发展,其他学者在观察到隐含波动率的倾斜现象后决定修正BS模型。有的学者放弃了BS模型中波动率为常数的假定,假设波动率为一个服从一定随机过程的随机变量,于是就有了诸如CEV模型、跳跃-扩散模型、CIR模型、Heston模型的出现。随着这些模型的出现,使得BS模型无法解释波动率随机变化的问题有了更好的解决办法,通过假设波动率为随机变量,随机波动率模型得以更好地模拟真实隐含波动率的变化情况。在这些模型中,Heston随机波动率模型研究期权隐含波动率变化的问题取得了很好的效果,这引起了很多学者的重视。鉴于Heston模型的影响及实用性,本文重点分析研究了这个模型,对Heston模型的形式、模型的推导、模型中各参数的意义、模型参数的校准方法作了重点介绍。首先,本文详细地分析了Heston模型的建立以及推导过程,通过回顾1993年Heston建立这个模型的过程,指出他是在BS模型的基础上增加了一个股价方差的随机过程来构建这个模型,然后受BS模型的启发,构造了一个资产组合来对冲股票市场风险以及波动率风险。BS模型偏微分方程推导过程中构建的资产组合只需要对冲掉股票市场的风险,而Heston模型的资产组合不仅需要对冲股票市场风险还需要对冲波动率风险,这是因为Heston模型中的波动率是随机变化的。通过构造这个资产组合来对冲股价和波动率风险,Heston得到了一个期权价格关于标的资产价格、时间、股价方差的二阶偏微分方程,然后联合这个偏微分方程的边界条件,Heston就得到了欧式看涨期权下Heston模型的解析解。然而,这个解析解的密度函数很难得到,这给模型的应用造成了困难。另一方面,由于模型解的特征函数可以相对容易地求得,从而我们可以根据特征函数和密度函数之间的关系对特征函数施行傅里叶逆变换从而得到密度函数,最终就能得到模型的解析解。在得到Heston模型的解析解之后,我们就可以使用这个模型为期权定价了。由于Heston模型的复杂性,经典期权定价的数值计算方法-Monte-Carlo模拟、有限差分法以及二叉树模型无法在Heston模型中使用,于是本文采用了两种特殊的数值方法：高斯求积和快速傅里叶变换,在使用这两种方法进行期权价格数值计算之前我们介绍了它们的原理。另外,分析Heston模型的解析解,我们发现在Heston模型的解中有五个未知参数,而且这些参数在模型中是非线性的,这给模型的使用带来了困难。为了使用Heston模型进行期权定价,首先需要估计出这五个参数来。考虑到模型的解是一个复杂的非线性系统,常规的优化算法可能无法收敛,而且即便算法收敛,算法的效率可能也会比较低,因此本文采用了差分进化算法这样的全局优化算法进行Heston模型参数校准。待Heston模型参数校准完毕得到五个未知参数之后,我们就可以使用Heston模型来研究期权的隐含波动率了。本文实证数据选取的是英国富时100指数期权(FTSE100)。本文的操作思路是：将决定期权价格的要素和Heston模型的参数代入模型当中求得Heston模型下的期权价格,然后使用二分法基于BS模型就可以求得期权的隐含波动率。二分法容易理解且操作方便,可以较为快速地得到期权的隐含波动率。二分法的原理将在文章中具体介绍。在得到期权的隐含波动率之后,就可以分析隐含波动率的期限结构和交割结构了。隐含波动率的期限结构是指在相同执行价格下,隐含波动率与期权不同到期日之间的关系；隐含波动率的交割结构是指在相同到期日的条件下,隐含波动率与不同执行价格之间的关系。实证研究表明,隐含波动率与到期日期和执行价格都有关系,而且隐含波动率的期限结构和交割结构通常呈现出倾斜的形态。针对隐含波动率出现倾斜的原因,本文作了一些理论分析,然后分析了Heston模型的五个参数对期权隐含波动率的影响,并使用英国富时100指数作了实证研究。通过对Heston模型的详细介绍,我们对这个模型有了更深的认识,然后使用实证研究检验了这个模型对于期权定价和隐含波动率拟合的效果。但是需要指出的是,Heston模型只在期权是欧式的条件下有解析解,对于其他期权无法得到精确的解析解,不得不说,这是Heston模型的一个缺陷。然而,这可以激励我们不断地去探索使用其他更好的模型来研究期权相关的问题,进而推动期权定价理论的进步。