论文部分内容阅读
在最近十年里,扩散半群理论被成功地应用到与Laplace算子相关的调和分析理论中。该理论主要研究与扩散半群相关的一些算子,如Riesz势、Riesz变换、Littlewood-Paley函数等,在Lp空间和Hp空间上的有界性.基于半群理论在调和分析中的应用,我们也可以将其应用到偏微分方程中来.在近五年里,由于L.Caffarelli和L. Silvestre的关于分数阶的Laplace算子的工作,该类型算子已经成为最著名的算子之一.而研究一些分数阶算子的性质在近几年也成为一个热门话题.本文的主要目的是利用半群理论来研究分数阶算子的正规性、Harnack不等式.对于分数阶算子的正规性.我们首先利用调和延拓、Carleson测度和Poisson半群对与Schodinger算子相关的Holder空间进行刻划,利用这个刻划,我们给出了该分数阶Schrodinger算子的正规性的非常简单的证明.其次,基于对与Schodinger算子相关的Holder空间的Campanato刻划,我们得到了判定一类算了的正规性的T1定理,从而得到了与Schrodinger算了相关的一些算子的正规性估计.再次,Harnack不等式是偏微分方程中得到方程解得正规性的重要方法之一.我们利用L. Caffarelli和L.Silvestre的延拓方法、半群理论以及一个转换方法证明了关于一大类算子的分数幂的Harnack不等式.最后,通过引进分数阶导数,我们研得到了半群上分数阶的Littlewood-Paley-Stein理论中的一些结果.本学位论文共有五章：第一章,回顾了关于分数阶算子和Littlewood-Paley-Stein理论发展及现状,阐述了学位论文的选题意义以及创新点.第二章,通过调和延拓及Carleson测度对与Schrodinger算子相关的Holder空间进行了刻划,利用这个刻划证明了Schrodinger算子的分数幂的正规性.第三章,证明了判别一类算子的正规性的T1定理,通过该T1定理证明了与Schrodinger算子相关的一些算子的正规性.第四章,通过延拓方法和转换方法证明了关于一些算子的分数幂的Harack不等式.第五章,通过引入分数阶导数到Littlewood-Paley函数中,利用这些均方函数的有界性对Banach空间的几何性质进行了刻划.