正态分布是较为常见的一种分布,源自于正态分布的“3σ原则”指出,偏离均值3倍标准差以上的数据出现的概率不会超过0.28%。但现实中有很多情况并不能够用正态分布进行分析,因为存在着数据在数量级上差异极大的情况,比如世界各国的GDP数据。这种极其不均衡的数据,常用重尾分布进行描述。重尾分布之中,最常见的是幂律分布。现实中的很多数据都具有幂律分布的特性,而Pareto型分布本质上就是一种幂律分布,应用较为广泛。重尾分布一般都适合于风险管理。像金融领域中常见的股票收益率、股票交易量,保险精算领域中的损失金额、损失次数,通讯领域的网络通信量,水文气象领域的气温、降水等,一般都是非正态的重尾数据,很多时候都可以运用Pareto型分布进行统计分析。本文研究的对象是Pareto型分布的一类渐近统计量。设（Xi）i≥1是一列正的独立同分布随机变量,服从指数为α（0<α<1）的Pareto型分布,记其分布函数为F。所谓的Pareto型分布,若其分布的尾（生存）函数F（x）满足下列条件F（x）:=1-F（x）～x-αl（x）,x→∞,其中l（x）是一个缓慢变化函数,即（?）,t>0,则称满足条件的F为具有指数α的Pareto型分布。对于统计量Tn:X12+X22+…Xn2/（X1+X2+…+Xn）2’记（?）,τk就是待研究的渐近统计量。Pareto型分布的相关研究前人已有不少的结果,渐近统计量τk的表示得到了广泛研究,但文献中所获得的结果都不够完善。对于服从指数为α的Pareto型分布,有人证明了渐近统计量τk是α的k次多项式,并给出了τk的一种隐式表示。在此基础上,有人利用母函数方法来简化该隐式表示,通过把一个二元母函数展开成连分式,从而将τk表示成了一个k次多项式,其系数取决于该连分式的展开情况。显然,这样的结果不够直接简明,无法令人满意,因为表达式依旧是复杂的而且是隐式的。经过文献追踪和深入研究,发现渐近统计量Tkk紧密地联系于一个计数问题,且与形式幂级数有关,于是我们寻求用组合学工具解决问题。最终,引入Bell多项式予以解决。因为Bell多项式是计数组合学的关键基础表示工具,本身与形式幂级数紧密联系,且表现力极强。渐近统计量τk联系于计数问题而它又是一个多项式,说明τk的显式表达是计数组合学中的多项式。在文献研究中所得的隐式表达式基础之上,运用级数展开形式定义的Bell多项式和欧拉伽马函数的性质进行推导和计算,得到了渐近统计量τk用Bell多项式显式表达的公式。本文所得到的其中一个显式表示为Tk=1/αΓ（2k）Lk（<-α>2,<-α>4,…,<-α>2k）,其中Lk是对数型Bell多项式,r（·）是欧拉伽马函数,<·>是升阶乘。用Bell多项式显式表示的渐近统计量τk简洁明了,也更便于借助符号计算软件如Mathematica进行计算。本文利用组合学来解决统计问题,是一种全新的想法,为解决统计学问题提供了新的方案和思路。本文的组织结构如下。第一章介绍了 Pareto型分布相关背景知识,包括Pareto分布、幂律分布等,并介绍了 Pareto型分布渐近统计量的研究现状。第二章,介绍了研究Pareto型分布涉及到的统计学知识,以及Bell多项式相关的组合学知识。第三章是本文的核心部分,运用组合学的知识证明了一个命题,运用命题的结论推导出了渐近统计量τk用指数型部分Bell多项式的显式表示,并且进一步得到了使用对数型Bell多项式表示的更加简明的表达。