随着科学与技术的发展，不同学科之间的交叉、数学内部学科之间的交叉都显得越来越重要。代数和微分方程的结合就是数学学科内部的一种交叉形式。在微分方程理论研究中，无时无刻不伴随着代数学方法的应用，尤其是矩阵论和线性空间理论，很早就被应用在微分方程理论的研究之中。作为微分方程领域的一个分支，时滞微分方程理论的研究是当今的热门话题。尤其在最近几十年，随着交叉学科的出现，以及计算机科学与技术的快速发展，时滞微分方程理论更加活跃。本研究课题就是在这样的背景下，借助代数方法来研究几类不同的时滞微分系统的动力学行为。其中的代数方法主要包括代数学中的矩阵束、谱、广义特征值、 Kronecker积、线性算子、对称群等。本文将用这些方法，针对几类时滞微分方程的平衡点、稳定性、 Hopf分支等动力学特性进行研究，给出有关稳定性问题的一些代数判据。具体研究内容如下：(1)讨论时滞微分系统中的分支理论，主要包括一般Hopf分支理论和对称性分支理论。尤其对于对称性分支理论，本文将利用对称群及其表示论通过研究一类分段连续型耦合时滞微分系统的稳定性问题，刻画具有特殊对称性的时滞微分系统的稳定性问题，尤其是其具有的特殊的D3-不变性和对称分支问题。(2)利用矩阵束、广义特征值、线性算子等代数方法研究一般情形下奇异型或中立型线性时滞微分系统的动力学特性。对于时滞微分系统来说，特征值的分布在系统的稳定性讨论中占有重要的地位，尤其是零实部特征值的分布往往是系统稳定性变化的临界状态。这里将通过代数方法将奇异型或中立型时滞微分系统对应的特征方程转化为代数方程，从而寻找具有零实部特征值的分布情形。另外，利用时滞微分系统的稳定性理论，寻找时滞微分系统稳定性的代数判据。其中主要介绍单时滞的和多时滞的两种时滞微分系统，而多时滞的情形主要探讨的是成比例的时滞微分系统的稳定性问题。(3)借助矩阵束、 Kronecker积、线性算子等代数方法，研究一类具有时滞的反应-扩散系统的特征值分布及其稳定性问题。反应-扩散系统是一类半线性偏微分系统，其特殊的性质使得特征值和特征函数都有无限多个，故其稳定性的研究相对于常微分系统来说更复杂。这里将利用代数方法讨论一类具有单时滞的，不含有交叉扩散项的高维反应-扩散系统，并根据系统的特征值的变化规律，寻求系统稳定性变化的临界状态，总结反应-扩散系统发生分支现象的代数判据。