力学中的很多现象都是用非线性微分方程来模拟的。但是非线性微分方程很难求解,是交叉学科的共同难题。所以非线性微分方程的研究具有理论意义和应用价值。而对称理论具有优化非线性微分方程的优点,本文研究了力学中的一些非线性微分方程的确定对称方法及其应用。对称理论近年来已经得到了多元化的发展,如非经典对称、高阶对称、势对称、离散对称等等。在使用对称方法分析偏微分方程时,前提条件是得到精确的对称表达式。在确定对称时,求解确定方程组是必不可少的步骤。然而,由于非经典对称的确定方程组是非线性的,所以即便是有计算机作为辅助计算,这也是很难完成的任务。目前为止很多个微分方程的非经典对称还没有被找到。本文针对此难题提出了一个新的算法,得到了满意的结果。除此之外,经过科学家们的探索研究,提出了很多的行之有效的求解微分方程精确解的方法。它们各有千秋,在不同的领域发挥了重要作用。本文中由广义分离变量方法出发,对其相关的不变子空间及微分算子理论进行了扩充。本文首次建立了偏微分方程(组)的经典对称与非经典对称的关系式,并基于对该关系式的研究,提出了一个确定偏微分方程非经典对称的新方法;利用新的算法对一类带有两个任意函数项的广义Burgers方程(包含多个力学方程)的非经典对称进行了分类,得到了新的对称;文中还将新方法应用于一些重要的微分方程,用相对更简单的方法得到了令人满意的结果;本文回顾了基于李代数改进的确定微分方程离散对称的方法,首次对其引入符号计算,计算了若干微分方程的离散对称;对近似长水波方程的无穷小李代数进行了结构分析,计算了它的优化系统及完整的内自同构群;基于以上理论,文中讨论了力学中常见的非线性微分方程包括:非线性波动方程、非线性热方程、非线性Boussinesq方程、Chazy方程、Harry-Dym方程、近似长水波方程、快速扩散方程、Hunter-Saxton方程、广义Burgers方程等。全文共分为五章:第一章是本文的研究背景,简单介绍了微分方程研究发展史。其次是本文相关的预备知识,包括对称的基本理论、吴方法算法、李代数基本理论、不变子空间的基本概念。第二章中首先利用吴方法计算了两个微分方程的对称,说明了吴方法对计算确定方程组的有效性。其次,提出了一个计算微分方程非经典对称的新方法。该方法可由以下三步构成:第一步,建立偏微分方程经典对称与非经典对称之间的重要关系式。第二步,利用以上关系式从经典对称的确定方程组中得到非经典对称的充分条件,扩充非经典对称的确定方程组。最后利用吴方法求解扩充后的系统,得到方程的非经典对称。该方法不仅可以解决一些微分方程的非经典对称的确定方程组无法计算的问题,更重要的是能够更好的理解对称之间的联系。利用新算法得到了 Boussinesq方程的非经典对称和势非经典对称,并且得到了非经典对称下的非线性Boussinesq方程的具有爆破性质的有理函数解。作为方法的应用对广义Burgers方程的非经典对称进行了分类,得到了方程新的对称。第三章中首先利用改进的离散对称求法研究了 Chazy方程和Harry-Dam方程的离散对称。其次以近似长水波方程为例,讨论了无穷小生成元的李代数性质,并且构造了该方程的一维和二维的优化系统。此外还计算出了该方程李代数的完整自同构群,并且在此基础上得到了方程所拥有的离散对称。第四章中讨论了关于不变子空间的两个互逆问题:(1)构造在已知的微分算子下不变的有限维线性子空间。(2)寻找拥有给定的线性不变子空间的微分算子。具体给出了广义分离变量算法的步骤,并进行了推广。求解了二阶和三阶的非线性发展方程的分离变量解。作为反向问题,对常见的一些不变子空间的二阶二次和二阶三次微分算子进行了分类。并利用以上分类,判别了快速扩散方程和Hunter-Saxton方程的不变子空间,求出了一些分离变量解。第五章中给出了构造给定的线性不变子空间的微分算子一般表达式的重要定理。首次将此重要理论应用于具体的多项式子空间,得到了拥有多项式线性不变子空间的微分算子的一般表达式,并根据不变子空间对方程进行了分类。最后对本文所做的工作进行了总结,并展望了今后将要努力的方向。