【摘 要】
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近年来组合数学包括计数组合在迅速的发展.计数组合学是组合数学的研究方向之一，主要研究有限集合上的组合结构在给定条件下的计数问题.计数问题的研究广泛地应用到有限几何,
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近年来组合数学包括计数组合在迅速的发展.计数组合学是组合数学的研究方向之一，主要研究有限集合上的组合结构在给定条件下的计数问题.计数问题的研究广泛地应用到有限几何,区组设计,编码理论,结合方案,认证码以及几何格等方面.计数组合在数学领域的作用和有限群论、表示论、代数几何以及代数拓扑在其中的作用可相提媲美. 本文在介绍了相关的群论,环论和认证码的基本概念,以及组合计数问题目前取得的主要成果之后,对组合计数中的一些计数问题进行了研究.本文主要研究以下问题: (1)设群环R = KG,其中设域K = Fq,其中q = pα, p为奇素数, G为阶为pβ的p-群, G的对合自同构可延拓为R的一个2阶自同构,定义R上2n级酉群U2n(R) ,并且计算了它的阶. (2)计算了有限局部环Z/pkZ上一类特殊矩阵集合的阶后,并利用它构作了一个Cartesian认证码,计算出该码的参数,进而,假设编码规则按等概率分布选取,计算了该码的成功伪造与成功替换的最大概率PI和PS . (3)在p为素数的前提下,计算了满足矩阵方程AB-BA = I的矩阵对(A,B)(A,B∈Mp(Fp))的个数.
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