【摘 要】
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发展方程描述物理学及其他科学领域中随时间演变的状态或过程,是依赖于时间变量的许多重要的偏微分方程的统称.许多描述复杂现象的偏微分方程都是非线性的.非线性偏微分方程是非线性科学的前沿领域和研究热点.非线性色散波方程是一类重要的非线性发展方程.非线性色散波方程以及它们与波动方程构成的方程组常用于描述物理中的波现象,例如晶体中的声波,等离子体中的离子声波,光纤中的信号等.在过去的几十年里,非线性色散波方
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发展方程描述物理学及其他科学领域中随时间演变的状态或过程,是依赖于时间变量的许多重要的偏微分方程的统称.许多描述复杂现象的偏微分方程都是非线性的.非线性偏微分方程是非线性科学的前沿领域和研究热点.非线性色散波方程是一类重要的非线性发展方程.非线性色散波方程以及它们与波动方程构成的方程组常用于描述物理中的波现象,例如晶体中的声波,等离子体中的离子声波,光纤中的信号等.在过去的几十年里,非线性色散波方程理论飞速发展.本文主要研究一些非线性色散波方程的适定性和长时间性态.第二章研究五阶Camassa-Holm方程的Cauchy问题在Sobolev空间Hs（R）（s < 1）中的整体适定性.利用I-方法,我们证明了当s > （6√10 ? 17）/4≈0.493时,该方程在Hs（R）中整体适定.为了得到较低的整体适定性指标,一方面,我们建立了包含算子I的双线性估计并计算方程局部解的生命跨度与初值大小之间的精确关系;另一方面,通过精细的讨论,我们建立了方程的几乎守恒律.值得一提的是由I-方法得到的整体解关于时间多项式次数增长.与KdV方程相比,该方程比较复杂且没有伸缩不变性,所以我们得到的整体适定性指标范围比局部适定性的小.第三章研究上述五阶Camassa-Holm方程的周期初值问题在（H|˙）s（T）（s < 1）中的整体适定性.利用I-方法,我们证明了当s > 2/3时该方程在（H|˙）s（T）中整体适定.与Cauchy问题不同的是,为了估计解的Lt∞Hxs范数,在证明过程中需要引入函数空间Ys并建立相应的双线性估计.在许多实际问题中,不能忽略能量的耗散和外力的作用,特别是在考虑系统的长时间性态的时候.因此,本文还考虑了有弱阻尼和外力驱动的修正Camassa-Holm方程的全局吸引子,其中λ> 0.第四章研究有弱阻尼和外力驱动的修正Camassa-Holm方程在H1（R）中的全局吸引子.假设外力项f∈H1（R）,我们证明了方程的解算子在H1（R）中的全局吸引子存在,并且在H4（R）中紧致.在证明过程中,我们把方程的解分为两部分,一部分在H4（R）中一致有界,另一部分当时间趋于无穷时在H1（R）中衰减至零.正则部分紧性的获得主要依靠能量方程方法和充分挖掘方程的色散正则性.由I-方法得到的整体解关于时间多项式次数增长,而弱阻尼项λu可以阻止解无限增长,因此我们可以期望有弱阻尼和外力驱动的修正Camassa-Holm方程在（H|˙）s（T）（s < 1）中的吸引子存在.第五章研究有弱阻尼和外力驱动的修正Camassa-Holm方程在H˙s（T）（s < 1）中的全局吸引子.在外力项f∈H˙1（T）的假设下,我们利用I-方法的思想证明了当s > 2/3时方程的解算子在H˙s（T）中的全局吸引子存在,并且在H4（T）中紧致.我们把方程的解分为两部分,一部分在H1（T）中一致有界,另一部分当时间趋于无穷时在Hs（T）中衰减至零.正则部分紧性的获得主要依靠H1（T）在Hs（T）中的紧嵌入.第六章研究有弱阻尼和外力驱动的KdV方程在（H|˙）s（T） （s < 0）中的全局吸引子.在外力项f∈L˙2（T）的假设下,我们证明了当s≥-1/2时,该方程的解算子在（H|˙）s（T）中全局吸引子存在,并且在H3（T）中紧致.我们得到的全局吸引子指标与整体适定性的相同,这改进了Tsugawa的结果.
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