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论文从飞行器设计中对曲面构造、方程求解以及代理模型等问题的具体需求出发,探讨了相应的(1)函数逼近空间、(2)具体逼近算法、(3)两类不确定性重要度的计算以及(4)多元积分的转换等方面内容。(1)讨论了由多重正交级数的星形部分和张成的函数空间。该空间的自由参数数目独立于问题的维数,且空间中的函数作为给定函数的近似具有较好的收敛速度。主要的结论有：·运用函数正交展开式系数的衰减性来定义部分和,从而使得自由参数数目的增长独立于维数本身；·给出了星形部分和自由参数数目的增长阶与增长界；·基于上述增长界,给出了利用星形部分和逼近已知函数时的误差界；·由可和性讨论给出了高维核插值的一个基本思路。该思路有可能成为径向基函数插值在高维情形有价值的替代品。(2)引入了一种基于多项式的多分辨分析以及一类多级的Jigsaw拟插值算法。该方法为多元函数与数据提供了一种由粗到细的分级表示方法。主要的结论有：·提出了一种多项式再生的多分辨结构。这种多分辨结构仅依赖于空间的仿紧性,因此可以直接拓展到定义在微分流形上的函数或数据,也可用于微分流形本身的构造；·引入了一族多项式Jigsaw函数以及C∞的Jigsaw函数,并由此提出了种多级Jigsaw分解算法,从而得到一个从整体逐渐过渡到局部的空间树形分解结构；·引入了两种多项式多级Jigsaw拟插值,并得到了相应的误差界；·引入了局部误差估计,并在此基础上建立了Jigsaw逼近以及Jigsaw变换,由此得到一类白适应逼近。另外还单独讨论了常数Jigsaw拟插值。说明了最优分片常数插值的存在性以及该最优方法与相应Voronoi图和Delaunay三角剖分之间的联系。(3)给出了High Dimensional Model Representations (HDMR)分解、Sobol指标以及Borgonovo指标的具体计算方法。主要的结论有：·构造了HDMR分解截断空间的再生核,从而利用核插值的方法估计HDMR分解,并最终对Sobol重要度指标进行估计。在一个较强的假设下,该方法也可以用于高维函数逼近；·根据非参数滤波的思想,将核回归的方法引入到条件期望E(y|xI)的估计中,因此能够同时对HDMR分解以及Sobol重要度指标进行估计。并针对这些估计分析了相应的渐近收敛速度,从而指出其收敛速度不可能高于N-1/2；·针对Borgonovo矩独立指标估计中的双重Monte Carlo(MC)密度估计的问题,分别采取了相应的措施。首先利用一个核估计对条件密度积分进行转化以避免双重MC估计,然后又将密度范数的估计转化为一个正交矩列的估计,从而建立了矩独立指标的一类快速算法。(4)根据圆柱螺旋线引入了渐近空间的相关概念。借助适当的渐近曲线,可以将任意的高维积分转化为一个单变量积分,从而可以使用单变量的白适应积分来估计高维积分。主要的结论有：·讨论了渐近曲线上的单变量积分与原始多变量积分之间的收敛性；·针对渐近曲线上的近似积分建立了相应的误差估计,它表明相应的误差由函数本身的连续模数所控制；·特别引入了一类球面上的渐近曲线,将其与Gauss公式相结合就可以应用于三维偏微分方程弱形式的求解。