拓扑材料凭借其新奇的物理特性和潜在的物理应用,近几年来吸引了越来越多凝聚态科学家的关注。从最初物理学家们对诸如量子霍尔效应现象的难以理解到现在可以见微知著、硕果累累,拓扑理论的发展经历了一个多世纪的漫长过程。伴随着密度泛函理论的不断发展,计算物理学家们甚至可以高通量的计算和预测成千上万的拓扑材料,为实验和理论提供了丰富多样的研究平台。在本论文中,我将首先在第1章从拓扑理论的发展讲起,介绍相关理论的发展过程,以及目前所研究的拓扑绝缘体、拓扑晶体绝缘体、拓扑半金属的性质和分类,相应的拓扑不变量的定义。结合最近发展出来的对称性指标理论、实空间构造方法等,介绍拓扑材料的判别方法。其次,我将在论文的第2章回顾密度泛函理论和能带理论的发展历史,并且对目前应用比较广泛的瓦尼尔函数的性质做简单的介绍。最后,也是论文的主要部分,我将介绍在博士期间进行的四个拓扑材料第一性原理计算相关的研究工作。我的研究工作大致可以分为两个方面:（1）计算和预言新的拓扑材料。这个方面的研究工作在本论文的第3章,关于超导体HfRuP家族拓扑态的研究。这部分内容中,我将介绍我们在HfRuP家族的材料里所发现的拓扑性质和超导性质。在实验方面,我们通过电阻和磁化率测量验证了这类材料的超导性和能带结构,在理论计算方面我们获得了这些材料的能带结构和拓扑性质,我们发现这个家族的材料可以分为两类:一类是第二类外尔半金属相,包括HfRuP;一类是拓扑晶体绝缘体,包括ZrRuAs,ZrRuP和HfRuAs。并预言这类材料由于其拓扑性和本征的超导性,极有可能实现拓扑超导。（2）利用拓扑理论对拓扑体系的物性进行解释,并为寻找新的拓扑材料提供新的理论依据。这个方面的研究工作在本论文的第4章关于LaSbTe的研究和第5章关于S4外尔半金属的研究。在关于LaSbTe的工作中,我们发现层状材料LaSbTe有两个拓扑相:弱拓扑绝缘体和拓扑晶体绝缘体相,都可以通过层构造的方式实现,并且实空间的层构造和动量空间的能带拓扑之间有非常好的物理图像相对应,这为理解拓扑晶体绝缘体和拓扑绝缘体的物理本质提供了一个范例。在具有旋转对称性C4和空间反演对称性的组合对称性S4对称性的外尔半金属的研究工作中,我们提出了一种通过对称性指标判断外尔半金属的方法。我们发现通过S4的对称性指标η和时间反演对称性指标Z2的不匹配,即η≠Z2来判断体系存在外尔点。并基于这个理论依据,检查了之前被认为是拓扑绝缘体的一系列锡矿结构的铜基硫族元素化物,发现其中一部分材料其实是满足η≠Z2的外尔半金属。