本文主要关注于扩展的柏拉图多面体及其多面体链环在化学中的研究。本文主要的目标是想通过这些多面体和多面体链环为基本构架,运用拓扑学和扭结的相关知识,进一步发现和证明多面体和多面体链环在DNA笼中的重要作用。本文的内容主要包括以下三个部分：第一部分阐述扩展柏拉图多面体的构造及其在化学中的应用。我们以柏拉图多面体为基础,将Goldberg构造方法运用于四种柏拉图多面体上,构造出了四种扩展的柏拉图多面体：扩展的四面体、扩展的六面体、扩展的八面体和扩展的十二面体。同时证明了此方法不适用于二十面体。近些年来随着测试技术的不断提高,结构化学取得了很大进展,各个学科中很多化合物均发现具有Goldberg多面体结构。我们希望,用Goldberg方法研究多面体构形并探索其在化学方面的应用,可以扩大对合成化学和结构化学的考虑思路,促进新分子结构的理解以及为实验合成新的化合物提供指导。多面体链环被证明是描述新型的多面体分子的有效数学模型,特别是针对DNA多面体。在第二部分中,基于扩展的柏拉图多面体构造四种新型的多面体链环。通过将新欧拉公式和多面体生长规律用于这些链环,我们计算出了这些链环的一系列拓扑属性：交叉点数、分支数和Seifert环数。这些促进了我们对扩展的柏拉图多面体链环的拓扑结构以及合成的理解。DNA多面体的新欧拉公式以及它的三个重要的拓扑参数可以解释大多数多面体链环的结构、欧拉示性数、以及亏格数等内在性质,这有利于新的DNA分子设计和合成,同时使我们从本质上对这些新颖的结构的内在属性有更为深刻的认识。第三部分从化学和数学的角度出发,在第一部分扩展的柏拉图多面体和第二部分扩展的柏拉图多面体链环的基础上,深入地探讨了DNA多面体链环出现不同分支数的规律。以四种有代表性的扩展的柏拉图多面体链环(八面体[3464]链环、十四面体[4668]链环、十四面体[3846]链环、三十二面体[512620]链环)为例,用分支数、Seifert环数、交叉点数、示性数γ示性数Q、多面体偶数和奇数交叉的边数等对其进行表征,描述其内在的属性。同时将原来用新欧拉公式统一的仅偶数次扭曲的DNA多面体链环,扩展到了奇偶扭曲并存的DNA多面体链环情况,并且得到了新的公式将其统一,这样使得原有理论、公式适用范围更广,这部分内容的研究揭示了DNA多面体一些可以挖掘的规律,可以成为实验工作者设计的参考。我们的研究还较为初步,我们的终极目标是想通过多面体以及多面体链环这一平台进一步理解和把握DNA多面体这一类新颖结构的还有待挖掘的数学拓扑性质,甚至可以预测、判断和控制某些物理、生物等方面的内在机理。