超图是图的自然推广，随着计算机科学、生物信息和运筹学等学科的发展，促使图论在研究二元关系的基础上，向研究多元关系发展.超图由两部分组成，一是顶点集合，二是边集合，其中每一条超边是顶点集的子集.本文主要研究一致超图的Hamilton圈问题及其相关的公平划分问题.　　一个覆盖图或者超图所有顶点的圈称为Hamilton圈，Hamilton圈问题是指给定一个图，判断其是否存在哈密尔顿圈.Hamilton圈的研究一直以来都受到极大的关注，最为经典之一的是Dirac在1952年给出的充分条件:任意最小度大于顶点数一半的图有Hamilton圈.从1980年代开始，Hamilton圈的概念被推广到超图中，受到很多关注.有大量的文献是关于超图Hamilton圈问题的研究，包括Dirac-型条件的推广，最小度条件的推广，以及随机超图中的Hamilton圈问题等等.　　一个图G=(V(G)，E(G))由非空顶点集合0V(G)和边集E(G)构成，其中E(G)中的元素称为边，是V(G)的二元子集.超图H=（V（H），E(H))与图类似，其中V（H）是超图的顶点集，边集E(H)(∈)2V由V(H)的非空子集簇构成.e∈E（H）称作超图的边.若超图的所有边含有的点数相同，即所有的边e都满足|e|=k，则称超图H为k-一致超图;若超图边的大小不全相等，则称之为混合超图.给定1≤l＜k，称一个k-一致超图C是一个l-圈，如果它的顶点和边都分别存在一个循环的排序，使得所有的边都包含顶点排序中k个连续的点并且每两条在边排序中相继的边相交于恰好l个点.在一个k-一致超图中，一个(k-1)-圈常被称为紧(tight)圈.如果一个l-圈覆盖了一个k-一致超图的所有顶点，那么我们称这个圈是超图的一个Hamilton l-圈.　　R(o)dl，Ruci(n)ski和Szemerédi在2008年给出了关于一致超图渐进意义下最优的Dirac-型结果，得到任意顶点数为n的k-一致超图的最小（k-1）-度如果大于(1/2+o(1))n则含有Hamilton紧圈.本文将其推广到了Ore-型定理，即将其中的最小度条件推广到了两个集合的最小度和条件.对于独立的定义，我们考虑两个在超图中自然的推广.本文证明了:(i)对任意的n≥4k2，都存在一个n阶的k-一致超图，其任意两个强独立点集的度和都大于等于2n4(k-1)，但不包含任何的Hamilton l-圈，1≤l≤k-1.(ii)如果一个n阶的k-一致超图满足其任意两个弱独立的点集的度和都不小于(1+ o(1))n，则包含一个Hamilton(k-1)-圈.这里我们说两个k-1的点集是弱（强）独立的，如果不存在包含这两个点集的并（与这两个点集都相交）的边.　　关于最小1-度，即最小点度数的Dirac-型条件，目前是一个非常困难的问题.R(6)dl和Ruci(n)ski猜想任何最小度大于(1-(1-1/k）k-1+o(1))（nk-1）的k-一致超图都含有Hamilton紧圈.目前仅对于k=3时有结果，并且最好的结果为(5-√5/3+o(1))(n2)，然而离猜想仍有很大的距离.本文对这一情形进行了讨论，首先将Szemerédi的正则引理和图中的嵌入引理推广到多重一致超图中，并基于多重嵌入方法，证明了3-一致超图的最小度大于(8/9+o(1))(n-12)时包含Hamilton紧圈，改进了当前最好的结果.　　本文的第二个工作是研究了超图的公平划分问题.划分问题旨在将图或超图的顶点集分成一些不相交子集的并，使得这些子集内部或子集之间满足某些性质.公平划分问题不同于传统的划分问题，它要求同时优化多个量.本文讨论的公平划分问题是将超图的顶点划分成不交子集的并，使得每个集合内部的边数尽可能的少.Bollobás和Scott提出猜想:给定ε＞0，设G是有n个顶点m条边的图，满足(i)m≥ε-2n，或者(ii)△(G)≤ε2n.如果n充分大，那么存在G的一个顶点均匀二划分V=V1∪V2满足: e(Vi)≤m/4+ε(m)i=1，2.　　本文将其推广到k-混合超图的情形，即证明了该猜想对k-混合超图同样成立，首次给出了一般混合超图的公平均匀二划分的结果.其直接推论便是一般的k-一致超图的均匀二划分的结果.我们证明了对于任意的n阶超图H，且其大小为i的边的数量为mi，i=1，2,…，k，如果H足够稠密或者其最大度为o（n）且无孤立点.则存在H的一个顶点均匀的二划分使得每个顶点部分内部的边数都不超过m1/2+1/4m2+…+（1/2k）mk+ o(m1+…+mk).