人们在科学研究和生产实践中,常常通过试验来认知某事的结果或某物的性能.为了使试验获得的数据能够通过分析得到正当客观的结论,则需要对试验方案进行有效地安排和设计。自从R.A.Fisher建立现代统计学以来,试验设计已经发展成为统计学的一个重要分支,并广泛应用于农业,化工,医药以及一些高科技产品的研发与制造.Wu and Ramada(2000)将这些试验中的问题依据其研究对象分为五大类:(ⅰ)处理比较,(ⅱ)变量筛选,(ⅲ)响应曲面探查,(ⅳ)系统最优化,(ⅴ)系统稳健性。Mukerjee and Wu(2006)进一步总结指出.这些问题除了单因素或两因素的处理比较,都涉及到了关于多个输入变量对试验输出结果的效应研究.这些输入变量称为“因子”,而这样的试验称为“因析试验”.每一个因子必须有两个或两个以上的设置,才可以探究其变化对响应的作用效应.这些设置称为因子的“水平”.不同因子的水平组合称为“处理组合”.一个处理组合也称为工业试验中的一个“试验号”.“因析设计”就是要考虑因析试验中处理组合的“选择和安排”。包含所有处理组合的设计称为“完全因析设计”.由于处理组合个数随着因子个数或因子水平数的增多而迅速增多,完全因析试验会比较大,因此在实践中通常用经济有效的方式选择其某一部分试验,称为“部分因析设计”。　　 如何选择最优部分因析设计已经成为近年来统计学家深入讨论和研究的课题。在2006年以前出现了许多准则,其中特别受到关注的有Box and Hunter(1961)提出的最大分辨度(MR)准则,Fries and Hunter(1980)提出的最小混杂(MA)准则,Wu and Chen(1992)提出的最大纯净效应(主效应和两因子交互效应)(MCE)准则和Sun(1993)提出的最大估计容量(MEC)准则.更多细节,可参考Wu and Hamada(2000)和Mukerjee and Wu(2006).这些准则都遵循了效应排序原则(EHP,Wu and Hamada(2000)).这个原则要求低阶效应比高阶效应重要,同阶效应同等重要.因此,一个好的设计应该最小化低阶效应之间的混杂.然而,尽管这些准则都基于此同一思想,它们得到的最优设计却常有不同。两水平正规部分因析设计具有简单的别名结构,任意两个效应要么正交,要么完全别名.这种设计被广泛研究和应用于各个领域的试验中.Zhang,Li,Zhao and Ai(2008)(ZLZA)针对两水平正规部分因析设计引入了别名效应个数型(AENP)的概念,并在此基础上,提出了一般最小低阶混杂(GMC)准则,该准则下的最优设计称为GMC设计.一个设计的AENP包含了其所有效应与其他效应以不同严重程度别名的基本信息.相比其他现存准则所利用的混杂参数,AENP更充分直接地反映了设计中不同阶因子效应之间的混杂关系.因此,基于AENP的GMC准则比其他准则更精确客观地体现了EHP.事实上,他们还证明了其他现存准则都可以通过表示为AENP的函数而得到.随后,AENP和GMC准则逐渐发展完善起来,形成了GMC理论体系.这些工作包括Zhang and Mukerjee(2009a)将GMC准则推广到s水平的情形(s≥2,足素数或素数幂),并给出了GMC设计的补设计构造理论,Zhang and MukeEiee(2009b)研究了GMC准则及其补设计构造理论在分区组设计中的应用,Hu and Zhang(2009)证明了GMC设计一定最小化定义关系子群中字长为3的字个数,Wei,Yang and Zhang(2010)讨论了GMC理论在裂区设计中的应用等等。本研究分为五个部分：　　 第一章对GMC理论及其与现存最优准则之间的关系进行了总结回顾。在实际应用中,试验者需要根据不同情况选择不同的最优设计.基于AENP的兼容性,GMC理论和GMC设计可以灵活地满足这一点.因此,构造GMC设计非常重要.其他现存准则下的最优设计构造往往需要辅以大量繁琐的计算机搜索.Li,Zhao and Zhang(2009)构造了因了数n在5N/16+1≤n≤N-1(N是处理组合数)情形下的两水平正规GMC设计.他们给出的方法非常简单,对于任何符合约束条件的n,其对应的GMC设计由以Yates序排列的饱和设计的后n列组成.此结果避免了计算机搜索,这也是GMC理论的一个突出之处。　　 第二章分别考虑了9N/32+1≤n≤5N/16和N/4+1≤n≤9N/32两种情形下GMC设计的构造.Chen and Cheng(2004,2006)将有限投影几何中的doubting理论引入到了试验设计.在2.2节中,我们进一步探讨了这种理论,并将其应用到GMC设计上.Block and Mee(2003)定义了分辨度为Ⅳ的两水平二阶饱和设计(简记SOS设计),并证明了任何非SOS设计一定是某个SOS设计的投影.根据有限投影几何中的结论,因子数为N/2,5N/16,9N/32,17N/64,33N/128,…,N/4+1的SOS设计都可通过doubling的方法得到,同时因子数为N/2和5N/16的SOS设计已经被证实在同构意义下唯一.因此,任何9N/32+1≤n≤5N/16的GMC设计一定是这两个SOS设计中某一个的投影.我们在2.3节分别研究了这两个SOS设计的投影,通过对比得到9N/32+1≤n≤5N/16的GMC设计一定是因子数为5N/16的SOS设计投影,并给出了具体的构造方法.但是随着因子数接近于N/4+1,具有相同因子数却不同构的SOS设计不再唯一并会越来越多(Block(2003)).因此,直接对比这些SOS设计的投影需要大量工作.为了简化问题,在2.4节中我们首先构造了一类具有某种结构的SOS设计,这类设计被证明是同构意义下唯一的因子数为N/4+1的GMC设计.在此基础上,我们通过利用doubting理论和SOS设计,直接构造了N/4+1≤n≤9N/32的GMC设计,并证明了这些设计与相同参数下的MA设计不同构.如同5N/16+1≤n≤N-1情形,9N/32+1≤n≤5N/16和N/4+1≤n≤9N/32的GMC设计也可以由一个以再变换Yates序(RC Yates序)排列的饱和设计的后n列组成.我们在2.5节介绍了利用RC Yates序构造GMC设计的方法.对于n