论文部分内容阅读
伪随机序列广泛应用于扩频通信、码分多址通信、全球定位系统、密码学等领域。在这些领域应用中,特别是在密码学中,要求伪随机序列有较高的线性复杂度,同时线性复杂度的稳定性也是密钥流序列的重要指标。分圆序列和广义分圆序列具有好的代数结构和良好的伪随机性质,所以得到了众多学者的研究和关注。本文主要给出了广义分圆类的一种统一定义,说明了广义分圆序列可以由d-次剩余序列叠加生成,考察了几类广义分圆序列的线性复杂度和线性复杂度的稳定性。本文还研究了用q-多项式来研究循环码的方法。本论文的主要贡献包括以下几个方面：1.基于剩余类环的代数结构,给出了模pe11pe22…perr上广义分圆类的一种统一定义,该定义包含Whiteman-广义分圆类和Ding-广义分圆类。根据这种广义分圆类的统一定义,利用Zn上d-阶乘法特征的性质,证明了任意奇数周期的d-阶广义分圆序列可以分解为一些素数周期的d-次剩余序列的叠加。特别地,当d=2时,广义分圆序列可分解为Legendre序列的叠加。构造了周期分别为pe和pe11pe22…perr的两类广义分圆序列,首先给出了它们由d-次剩余序列叠加的分解式,然后通过分析它们的分解式,讨论了线性复杂度和k-错线性复杂度,最后给出了具有较好复杂度性质的广义分圆序列需满足的必要条件。2.定义了一类新的广义分圆序列,即周期为p1p2…pr的广义雅克比序列,分析了2-阶广义雅克比序列的线性复杂度性质。当r=2时,2-阶广义雅克比序列是周期为p1p2的2阶Whiteman-广义分圆序列,通过定义参考序列,针对特定的k值,得到了k-错线性复杂度的上界；当r=3时,构造了两类广义雅克比序列,利用多项式的因式分解理论和序列的特征多项式的根,计算了其线性复杂度和最小多项式,给出了序列取较大线性复杂度时,素数p1,p2,p3满足的条件；当r=4时,构造了两类广义雅克比序列并证明了它们的线性复杂度较高。3.基于Ding等人关于q-多项式码的定义,结合q-多项式的性质,给出了用q-多项式来研究循环码的基本理论框架。首先证明了所有的q-多项式码都是循环码,所有的循环码也是某校验元对应的q-多项式码。构造了一类q-BCH码,并分析了这种循环码的最小距离。通过q-多项码的校验元,给出了由己知循环码来构造其扩展码、对偶码的方法。