在偏微分方程中,抛物型方程是一类含相关物理背景的偏微分方程.抛物型偏微分方程在研究热传导过程、部分扩散现象及电磁场传输等很多问题中有着广泛应用,更有广泛的应用前景.多年来,对常系数抛物型方程的研究已经有很多结果,在工程技术领域中,尤其是在地球物理及材料科学等领域的应用研究受到大家越来越多关注.而对于具有变系数非齐次的偏微分方程的研究,是具有一些的难度的,因为实际问题中的应用相当的广泛,所以借助于数值方法来求它的近似解具有非常重要的现实意义.变系数非齐次抛物方程包含很多种,可以是分别关于空间、时间的变系数;也可以是在空间和时间都可变系数的,在研究变系数抛物型方程时,由于方程本身的自由项、以及变系数性质导致解对初值是非常敏感的,数值计算结果也就不容易得到,即便是可以建立计算量小、计算速度快的数值方程,我们也要进一步关注数值解的可解性、稳定性以及收敛性,是否可以使得关注的问题在理论上得到充分的证明.有限差分是求解抛物型方程方法中的一种简单、高效、应用广泛的方法.本文将利用有限差分方法,对具有变系数非齐次的抛物型方程建立一个高精度的二阶差分格式;并严格分析差分格式的可解性、稳定性以及收敛性.共分为四个部分对其进行阐述,具体内容计划如下.第一部分主要对具有变系数的非齐次一维抛物方程的研究背景和意义进行说明,以及一维抛物型方程多年研究的相关数值方法的进展状况,并阐述本文的主要研究内容及其意义;在第二部分中首先建立了一个具有可变系数的非齐次一维抛物型方程的二阶差分格式,随后列出一些引理;再利用离散能量法严格分析差分格式解的可解性、稳定性和收敛性.此时时间、空间精度均为二阶.为了提高精度,再细致分析截断误差方程将其进行离散,应用Richardson外推算法,使得数值精度提高到空间、时间均为四阶,这也是本文最大的亮点.此方法不仅可以使得数值解具有高精度,而且是无条件稳定的,即可以取任意时间、空间步长.最后给出数值算例,通过数据模拟对理论证明部分进行验证说明,数据模拟结果充分说明理论证明部分的正确性,并且计算高效;第三部分主要想将上述方案推广到具有变系数非齐次的二维抛物型方程,在此部分进行说明;第四部分对整篇论文进行概括总结,阐述本篇论文成果,在此基础上展望未来还可以继续做的工作.