近些年来,非线性风险测度和非线性期望被提出并得到广泛的研究,比如Artzner等人提出的相容风险度量理论和彭实戈教授提出的g-期望和G-期望理论(见[3],[42],[93],[97]及相关的文章)。在所有的非线性期望的理论中,研究最多最广泛的是次线性期望,例如以上所列举的理论,除了g-期望外,基本都可以划归到次线性期望的框架中进行研究。虽然次线性相比较经典的线性情况只是将线性可加扩展成次可加,但是研究起来却要复杂不少,现在用来研究次线性期望的主要方法除了来自传统的概率论和随机分析外,还使用了泛函分析,凸分析,偏微分方程等学科的知识和结论。各种方法的侧重点不同,对应于不同的研究方向。本文偏向于使用概率论和各种分析的手段来解决一些带约束的优化的问题。论文主要研究了三种带约束的问题和L1(c)空间的完备性。第一个问题是,对于一个给定的未知的随机变量ξ,在期望算子是次线性的情况下,已知部分观测信息C,如何来选取最优的随机变量满足是关于C可测的,且达到估计的误差最小。这里的约束条件是关于C可测。在经典线性情况下,最优的随机变量就是未知随机变量ξ关于C的条件期望。但在期望变成次线性算子以后,如何定义条件期望并没有一个统一形式,而我们发现之前Artzner等人[4]所定义的条件期望,虽然它在一定条件下有时间相容性,是一个无偏估计,但却并不是二次平方误差意义下的最优估计。这告诉我们,在次线性期望下,可能并不能找到同一个估计函数使其既是无偏估计又是最小平方误差估计。基于这条观察,我们研究了从最小平方误差估计的角度重新定义了一种新的条件期望,并给出了它的一些性质和之前Artzner等人所定义的条件期望的联系。第二个问题是金融数学里比较关心的问题,就是在不完备市场中,如何在受限的交易策略下,使自己的投资风险达到最小。在风险函数是线性的,财富过程也是线性的时候,Karatzas和Shreve[66]用对偶方法已经解决了这个问题。在这里,我们将情况推广到财富过程是次线性,风险测度函数是凸函数的情况。我们用的主要是鞅方法,分析的方法和g-期望里的终端变分的方法。第三个问题是次线性框架下的假设检验问题,这里面最重要的结果就是Neyman-Pearson引理。经典线性情况下,Neyman-Pcarson引理不仅给出了最优检验函数的存在性,而且指出最优解一定具有一个特殊的形式,使得人们可以有章可循的去寻找这个最优解。在非线性的情况下,前人已经做了很多这方面的工作。1973年,Huber和Strassen[58]用分析的方法研究了在Choquet积分下的min-max假设检验问题。2001年,Cvitanic和Karatzas [21]用凸分析的方法研究了一般期望意义下的min-max(?)设检验问题。2008年,Ji和Zhou [61]用鞅方法和终端变分的方法研究了g-期望下的假设检验问题。2010年,Rudloff和Karatzas [114]用Fenchel对偶的方法研究了复合假设检验问题。得益于有限可加测度的一些已有的结果。我们用全新的方法,将Cvitanic和Karatzas的工作推广到没有参考概率的情况。而且我们还专门研究了达不到显著水平也有最优假设检验的情况。如何考虑没有参考概率的情况,在整个次线性领域现在比较热门也比较困难,需要指出的是,虽然我们将存在参考概率测度这个比较强的条件给去掉了,但代价是我们不知道最优假设检验在这种情况是否还一定存在,除此之外,我们的结果与Cvitanic和Karatzas的工作有很好的类比性。比如我们找到的最终用于表示的Pα和Qα也未必会被原来相应的次线性算子所控制住。接下来,我们研究了当函数空间限制在有界连续函数空间里的假设检验问题,这个问题来源于对彭实戈教授提出的G-期望框架下假设检验问题的思考。我们所提出的框架也是基于彭实戈教授之前提出的算子与函数的角度出发来考虑次线性问题。需要指出的是,在证明的过程中的一部分,我们实际上用传统的方法重新证明了Daniell-Stone定理,这对我们更好地理解这个定理提供了帮助。在证明第三个问题之前,我们研究了L1(c)空间的完备性。一个空间的完备性的重要性是不言而喻的,基于在次线性下,有不完备的例子存在,促使我们研究在何种情况下,可以保证L1(c)空间是完备的。在我们完成了证明以后,发现Denis Hu和Peng[28]在其未发表的部分,已经详细地给出了完备性的证明。虽然如此,两种方法却完全不同。Denis Hu和Peng主要是使用概率论的方法,而我们偏重于使用的是泛函分析的结果。通过不同角度的证明,也让我们更好的理解L1(c)空间的完备性。下面,我们将进一步介绍论文的内容。在第一章,我们研究了次线性期望下的二次最优估计问题。具体问题如下：问题0.1.在给定可测空间(Ω,F)和定义在F上的次线性算子ρ,C是F的一个子σ-代数,C表示所有有界C-可测的函数集合,F表示所有有界F-可测的函数集合,那么对于任意的ξ∈F,是否存在η∈C满足如果这样的η存在,它是否是唯一的。首先,通过Komlos定理,我们得到最优解的存在性。定理0.1.如果次线性算子ρ是定义在F从上连续的,那么,存在η∈G是我们问题的解。其中G是所有被M界住的关于C可测的函数。然后,主要根据(?)ninimax定理,我们得到了最优解的唯一性。定理0.2.如果次线性算子ρ是定义在F从上连续的并且是恰当的,那么问题(0.1)的最优解存在且在P0-a.s的意义下是唯一的。我们将这样的最优解称为二次最优意义下的条件期望。在第三节我们给出了如下的一个与稳定的相容风险度量有关的结论。定理0.3.给定ξ∈F,如果ρ是一个次线性算子且是定义在F从上连续的并且ρ的表示集合P如[4]中定义是“稳定”的,那么对于一个给定的ξ∈F,ker(f)刚好是集合其中ker(f)={Ep[ξ|C];P∈ρ}。第四节我们得到之前Artzner等人定义的条件期望也是二次最有估计的一个充分必要条件。定理0.4.对于给定的ξ∈F,在命题1.3的假设情况下,ηess是问题(0.1)的最优解当且仅当其中ηess表示css sup p∈ρ∈Ep[ξ|C]。在第五节,我们研究了在只假设了算子是次线性的的情况下,解存在的充分必要条件。定理0.5.给定ξ∈F,如果infη∈Cρ(ξ-η)2>0,那么η是问题(0.1)的最优解当且仅当它是一个有界关于C可测的下列方程的解最后,我们给出了一个寻找最优解的必要条件。定理0.6(包络定理).给定ξ∈F,如果存在r∈R满足对任意的ξ∈B(ξ,r),都有其中B(ξ,r)表示以ξ为中心半径为r的球。那么(i)V在ξ处是Frechet-可导的；(ii)DV(ξ)=DF(Pξ,ξ)。第二章,我们研究了不完备市场的投资优化问题。我们的问题是：在财富方程为的情况下,使下列风险达到最小经过一系列的讨论,我们最终将问题转化为等价的问题其中χεχ:{ξ∈L2(0,T;R);ε0(ξ)≤χ且0≤ξ≤H}。然后我们证明了解的存在性,定理0.7.在(H1)-(H7)的假设条件下,加上对Φ的假设,问题(0.3)的解存在。为了研究最优解所应具有的形式,利用Mazur-Orlicz定理,我们进-步将问题转化为使满足ρg(H-ξ)≤α (0.4)然后利用Ekeland变分原理,我们有定理0.8.我们假设(H5)-(H7)对函数9成立。令ξ*是问题(0.4)的最优解,那么存在h1∈R和h0∈R满h0≥0和|h0|2+|h1|2=1且下列变分不等式成立：其中X0ξ-ξ*和y0分别是相应方程(2.18)和(2.19)终端值为ξ-ξ*和-(ξ-ξ*)时在0时刻的值。利用上式,最终我们得到最优解所应具有的形式为：定理0.9.我们假设(H1)-(H8)成立,如果ξ*是(0.4)的最优解,(X*(·),Z*(·))(相应的(y*(·),z*(·)))是相应的(2.18)(相应的(2.10))的状态过程,那么存在h1∈R和h0∈R且有h0≥0和|ho|+|h1|≠0满足其中m(·)(相应的n(·))是伴随方程(2.22)(相应的(2.23))的解。第三章,我们研究了L1(c)的完备性。定理0.10.如果次线性算子ε能被一族概率测度表示出来,那么L1(c)空间在其范数下是一个完备空间。第四章,我们研究了次线性下的假设检验问题,得出了主要的结果：Neyman-Pearson引理。第二节我们提出要研究的问题问题0.2.对一个给定的显著水平α∈(0,1),是否存在一个检验函数Xα满足：其中χα是集合{X；Eμ[X]≤α,X∈[0,1],X∈χ).第三节我们给出解存在充分必要条件定理0.11.Xα是问题0.5的最优解当且仅当Xα∈χα且存在非负的实数λ1,λ2和λ3,满足λ1g1(Xα)=0,λ2g2(Xα)=0,λ3g3(Xα)=0且第四节我们研究了最优解如果存在,所应具有的形式。我们给出了第一种情况发生的充分必要条件定理0.12.记B:={B∈F；Eμ[IB]>0,Eμ(IB)=0}和如果召是空集,我们定义β：=0。对于任意的α∈(0,1),存在Xα0满足Eμ[xα0]<α且Ev[Xα0]=γα当且仅当β>1-α。然后我们分两种情况给出了最优解所应具有的形式。定理0.13.如果存在随机变量Xα0满足Eμ[Xα]<α达到了γ。,那么存在概率测度Qα0和Pα。满足Xα0可以表示成：其中HQα0and GPα0是Qα0和Pα0关于K：=Pα0+Qα0/2的Radon-Nikodym导数。λ0=0,B是取值于[0,1]的随机变量。和定理0.14.假设对于所有的满足Eμ[X]<α的X,我们都有Ev[X]<γα。如果Xα是问题0.5的最优解,那么它一定可以表示为：其中HQα和GPα分别是Qα∈(?)和Pα∈P关于K：=Pα+Qα/2的Radon-Nikodym导数。B是取值于[0,1]区间上的一个随机变量。最后一节,我们做了个总结并且给出的一些具体的例子。第五章,我们在上一章的基础上,研究了连续函数的假设检验问题。我们构建了由算子函数角度出发的期望理论,我们证明了,从算子函数角度出发其实和从集合概率的角度出发是一致的,也可以得到对应的重要的定理,但是从算子函数的角度出发的好处是在算子延拓时,可以做到概率做不到的Daniell-Stone定理的结果。第二节我们给出了我们的理论框架,并仿照传统概率论的方法给出了新框架下Radon-Nikodym定理的证明。定理0.15(Radon-Nikodym定理).如果(Ω,H,L1)是一个函数可测空间,L2是一个定义在(Ω,H)上的适当的σ-可加算子,那么存在Φ∈H和g∈H[0.1]满足L1(g)=0且第三节我们将一个σ-可加算子从线性格延拓到由它生成的线性σ-格上。定理0.16.如果L是一个定义在线性格H上的σ-可加的算子。那么存在唯一的一个σ(H)上的延拓L满足L依然是σ-可加的。第四节,我们仿照经典结果证明了线性的Neyman-Pearson引理。定理0.17(Neyman-Pearson引理).令L1和L2是定义在函数可测空间(Ω,H)上的两个不同的σ-可加算子。取Φ1：=dL1/dL和Φ2：=dL2/dL,其中L：=L1+L2/2,于是对于问题5.1,我们有(i)对任意的显著水平α∈(0,1),存在一个检验函数h(ω)和常数λ0≥0,满足L1(h)=α且(ⅱ)由(ⅰ)确定的h(ω)是最优的检验函数,且所有的最优检验函数都具有(ⅰ)的形式。第五节,我们给出了本章最主要的结果,就是将算子换为次线性算子,函数空间限制为只能取连续函数或者拟几乎处处连续函数的时候,最优假设检验函数所应具有的形式。与上一章的方法类似,我们也是分两种情况讨论的,分别为定理0.18.如果存在随机变量hα0满足ρμ[hα0]<α达到了γα,那么存在适当的σ-可加算子Lα0m和Lα0n满足hα0可以表示成：其中Hm和Gn是Lα0m和Lα0n关于K：=Lα0m+Lα0n/2的Radon-Nikodym导数。λ0=0,B是取值于[0,1]的随机变量。和定理0.19.假设对于所有的满足ρμ[f]<α的连续有界函数f,我们都有ρv[f]<γα。如果h是问题5.2的最优解,那么它一定可以表示为：其中Hm,和Gn分别是Lαm∈M和Lαn∈N关于K：=Lαn+Lαm/2的Radon-Nikodyrn导数。B是取值于[0,1]区间上的一个随机变量。