现实世界中,复杂系统无处不在。生物系统、社会系统、气候环境等都是复杂系统,研究复杂系统的理论及其应用在众多学科领域都具有重要的意义。复杂网络作为复杂系统的抽象拓扑结构,能直观的反映复杂系统中各对象之间的相互关系。图是研究复杂网络拓扑结构的得力工具,图不变量的性质在刻画复杂网络拓扑性质的过程中起重要作用。本文从一类特殊图——冠图出发,对冠图的拓扑性质进行了深入的研究。对冠图的ABC指数、Wiener指数、两类拉普拉斯谱进行了研究,给出了几类特殊图的ABC能量。在此基础上,分析了图谱理论在复杂网络社团发现中的应用,为利用图不变量进行社团发现及社团结构分析提供了新的研究视角。主要工作如下:（1）研究了两个图的点冠图的ABC指数,证明了两个图分别进行删边操作后,对应冠图的ABC指数都呈递减趋势,并得到了两个图的点冠图的ABC指数的上界。本文采用新的方法和研究思路,对两个树图的点冠图的ABC指数进行了研究。结合点冠图的结构特点以及不等式的性质,得到了两个树图的点冠图的ABC指数的上界,并刻画了可达此上界的极图。为进一步解决其它类型冠图的定量分析问题提供了新颖的方法和思路。（2）研究了两个图的边冠图的ABC指数,结合不等式性质进行了严密的推导,证明了两个图分别进行删边操作后,对应冠图的ABC指数都呈递减趋势。在此基础上,得到两个图的边冠图的ABC指数的上界。（3）对三个图的点冠图的Wiener指数进行了研究。通过分析三个图的点冠图的结构,将图中不同类型的顶点对进行分类,计算得到了三个图的点冠图的Wiener指数。并得出结论:冠图（G1（?）G2）（?）G3的Wiener指数与三个图的顶点数及边数有关,且关于图G2、G3的边数m2、m3单调递减,而与图G2、G3的结构无关。（4）以更接近真实网络的拓扑模型——加权冠图为研究对象,研究了两类加权点冠图的无符号拉普拉斯谱和规范化拉普拉斯谱。证明了所刻画的谱是对应加权点冠图的所有特征值,并给出了对应的所有特征向量。将规范化拉普拉斯谱的结论进行了应用推广,为谱理论在实际中的广泛应用提供了理论支撑。（5）介绍了图能量的概念,研究了一种新的图能量（ABC能量）。利用ABC矩阵的特殊性,计算得出了几类特殊图的ABC能量,并计算了友谊图和风车图的ABC能量,以及特殊图类删边后的ABC能量。（6）分析总结了图谱在复杂网络的社团发现中的应用,介绍了两种与图谱密切相关的聚类算法。结合已有算法,提出了一种新的相似性度量指标,为将其他图不变量应用于社团发现提供了新的思路。