【摘 要】
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Hardy算子是函数论中基本而重要的积分算子,在偏微分方程及复分析等众多数学领域中具有的广泛应用.本文主要研究经典Hardy算子、其对偶算子及其交换子在Hardy空间上的有界性问题.设f为定义在R+上的局部可积函数,经典Hardy算子及其对偶算子定义如下:#12 P和Q与定义在R1+上的可测函数b构成的交换子为[b,P]f(x)=b(x)Pf(x)-P(bf)(x),[b,Q]f(x)＝b(x)Q
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Hardy算子是函数论中基本而重要的积分算子,在偏微分方程及复分析等众多数学领域中具有的广泛应用.本文主要研究经典Hardy算子、其对偶算子及其交换子在Hardy空间上的有界性问题.设f为定义在R+上的局部可积函数,经典Hardy算子及其对偶算子定义如下:#12 P和Q与定义在R1+上的可测函数b构成的交换子为[b,P]f（x）=b（x）Pf（x）-P（bf）（x）,[b,Q]f（x）＝b（x）Qf（x）-Q（bf）（x）.关于Hardy算子及其对偶算子,我们得到如下结论:（1）Hardy算子P和Q为H1（R+）→L1（R+）的有界算子,即||Pf||H1（R+）≤C||f||L1（R+）,||Qf||H1（R+）≤C||f||L1（R+）,其中C为与f无关的常数.（2）算子Q是H1（R+）→H1（R+）的有界算子,即||Qf||H1（k+）≤C||f||H1（R+）,其中C为与f无关的常数.（3）设1<p<∞,则P和Q算子是HKp（R+）→Kp（R+）的有界算子,即||Pf||Kp≤C||f||HKp,||Qf||Kp≤C||f||HKp,其中C为与f无关的常数.对于Hardy算子及其对偶算子与BMO和CMO函数组成的交换子的有界性,我们有如下结果:（1）设b∈BMO（R+）,交换子[b,P]为H1（R+）→ L1,∞（R+）的有界算子,即||[b,P]f||L1,∞（R+）≤C||b||BMO（R+）||f||H1（R+）,其中C为与f无关的常数.（2）设b∈BMO（R+）,交换子[b,Q]为H1（R+）→L1（R+）的有界算子,即||[b,Q]f||L1（R+）≤C||b||BMO（R+）||f||H1（R+）,其中C为与f无关的常数.（3）设 1<P<∞,b ∈ CMOp（R+）函数空间,则交换子[b,Q]为Hb1（R+）→L1（R+）上的有界算子,即满足||[b,P]f||L1（R+）≤C||b||CMOp（R+）||f||Hb1（R+）,其中C为与f无关的常数.此外,我们还研究了分数次Hardy算子和它们的交换子在Hardy函数空间上的有界性,并得到了类似结果.
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