【摘 要】
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在图像应用中,记录的图像往往是受到模糊和噪声污染了的图像.图像恢复的目的是通过对失真图像进行处理,得到与原始图像尽可能接近的恢复图像.图像恢复是图像处理的基础,是图像研究的重要内容.随着信息可视化的普及和发展,图像的应用越来越重要,图像处理涉及的领域越来越广泛.由于图像恢复问题在图像处理中的重要性,对图像恢复问题数学方法的研究具有重要的理论意义和实际价值.图像恢复是一个高度病态的反问题,所以正则化
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在图像应用中,记录的图像往往是受到模糊和噪声污染了的图像.图像恢复的目的是通过对失真图像进行处理,得到与原始图像尽可能接近的恢复图像.图像恢复是图像处理的基础,是图像研究的重要内容.随着信息可视化的普及和发展,图像的应用越来越重要,图像处理涉及的领域越来越广泛.由于图像恢复问题在图像处理中的重要性,对图像恢复问题数学方法的研究具有重要的理论意义和实际价值.图像恢复是一个高度病态的反问题,所以正则化方法是图像恢复的重要方法.在图像恢复的正则化方法中,一般通过求解由数据保真项和正则化项构成的能量函数的最小化问题,用其最小解作为恢复图像.在本论文中,我们考虑了图像恢复的半二次正则化方法和总变分正则化方法,并分别利用牛顿法和延迟定点迭代法对这两种正则化模型进行了求解.对在求解过程中出现的线性方程组,构造了预处理矩阵,采用预处理迭代方法求解了这些线性方程组,并给出了相应的理论分析及数值实验.首先,考虑了图像恢复的乘性半二次正则化模型.采用牛顿法求解了欧拉-拉格朗日方程.在牛顿法的每步迭代中,需要求解一个系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组.对该线性方程组,构造了修正的块对称逐次超松弛（SSOR）预处理矩阵,采用预处理共轭梯度法求解了该线性方程组.对预处理矩阵的条件数进行了分析,给出了预处理矩阵条件数的上界以及最优松弛参数.此外,对该线性方程组,也构造了一个改进的乘积型预处理矩阵,利用该预处理矩阵,采用预处理共轭梯度法求解了该线性方程组,对预处理矩阵的谱分布也进行了分析.理论分析和数值实验结果都表明,构造的修正块SSOR预处理矩阵和改进的乘积型预处理矩阵提高了图像恢复的计算效率.其次,考虑了图像恢复的加性半二次正则化模型.采用牛顿法对欧拉-拉格朗日方程求解时,在牛顿法的每步迭代中,对产生的系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组,通过用数量矩阵近似系数矩阵Schur补中的对角矩阵,得到了Schur补矩阵的近似矩阵,在此基础上构造了约束预处理矩阵,并采用预处理共轭梯度法求解了该线性方程组.理论分析和数值实验结果都表明,构造的约束预处理矩阵加快了加性半二次正则化方法中图像恢复的计算速度.最后,考虑了图像恢复的总变分正则化模型.采用延迟定点迭代法对欧拉-拉格朗日方程进行了求解.在延迟迭代法的每步迭代过程中,需要求解一个线性方程组.通过变量替换,将该线性方程组的求解可以转化为一个具有2×2块结构的非对称正定线性方程组的求解.在对该2×2块的系数矩阵进行块三角分解后,通过对其Schur补近似,构造了约束预处理矩阵,并采用约束预处理共轭梯度法求解了该线性方程组.同时,对该2×2块结构的非对称正定线性方程组,基于系数矩阵埃尔米特和反埃尔米特矩阵的分裂迭代法,构造了基于矩阵分裂的预处理矩阵,并采用预处理广义最小残差方法求解了该线性方程组.理论分析和数值实验结果都表明,对于图像恢复的总变分正则化模型求解中出现的线性方程组,所提出的预处理迭代方法是有效的.
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