样条函数可以理解为具有一定光滑度的分段(分片)多项式,是曲线曲面造型的基本工具。来源于工程制图的一元样条曲线具有直观的力学背景。多元样条是一元样条的推广,大致可分为两个方向:一是保留样条的分段性质,研究相邻曲面片之间的光滑连接及整体协调性,从而建立多元网格样条的基本理论;二是,以曲面弯曲能量泛函为目标函数作约束优化,并满足插值条件,得到薄板样条函数,这是样条函数多元推广上的物理能量观点。多元网格样条曲面的力学意义及弯曲能量仍有待进一步研究。文章从样条的力学意义出发,研究多元网格样条曲面的弯曲能量及其在曲面造型中的应用。首先,通过在悬臂梁及外伸梁多处施加集中力偶,使梁弯曲变形得到分段光滑的挠曲线,构成了一元2次1阶光滑的样条函数,得到了2次样条函数在边界约束下的力学构造原理。并研究了一元样条的弯曲能量泛函,应用变分原理和最小势能原理得到了梁在不同情况下的边界条件及挠度方程,从而建立了一类一元样条函数的数学表达与力学之间的联系。其次,通过在薄板边界及剖分线上施加均匀分布的线力偶与弯矩,使薄板在矩形剖分上变形的挠曲面具有了分片形式成为二元2次1阶光滑的网格样条曲面。研究了给定矩形网格上多元样条曲面的力学模型及其能量泛函。针对板边固定的任意形状板,研究了广义能量泛函表达式和边界条件。最后,结合最优化理论,提出能量优化法进行曲面造型,并给出了边界曲线约束和参数曲面片约束条件下的曲面造型方法。文章是属于数学与力学的交叉领域的研究,研究结果不仅使人们对多元样条的力学意义及弯曲能量有了更深入的了解,也是对样条函数理论的补充和完善,为复杂曲线曲面造型的能量约束方法提供了新的思路。