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一个有限群G称为内幂零群(或极小非幂零群,或Schimdt群),如果其本身不是幂零群,但每个真子群都是幂零群.熟知这是有限群理论中非常基本而重要的一类群,经常出现在极小反例环境中.但直到2005年,才由三位群论学者(其中有著名的群论专家D.Robinson)应用了所谓的极小非PST群类的结构定理,最终得到内幂零群结构的一个完整刻画,即给出了一个群为内幂零群的充要条件.但他们所给的证明是非常复杂的,并非是一个直接了当的初等证明.本文主要目的是从一个新的角度重新探讨内幂零群的结构定理,得到了一个简明的刻画,并获得了新的结构信息.我们首先需要建立一个关于不可约自同构的判别准则,该结果在我们后续的研究中仍将发挥重要的技术功效.定理1.设V为初等交换p-群,|V|=pn α Aut(V)为一个p＇-自同构,视V为p元域F=GF(p)上的向量空间,则α在V上不可约当且仅当α在V上的特征多项式在F上不可约.特别地,当o(α)=qe,其中q≠p为素数,则α在V上不可约当且仅当n = ordqe(p),即n是满足同余方程pn三1(mod qe)的最小正整数.进而,我们需要将经典的Hall-Higman简化定理加以改进,获得了其充要条件形式,据此得到极小非平凡作用的一个刻画.定理2.设p为素数,有限群A通过自同构作用在有限p-群P≠1上,p十|A|,则该作用为极小非平凡作用当且仅当下面的两个条件是同时成立的:(1)CP(A)= Φ(P),其中 Φ(P)为P的 Frattini 子群;(2)A在P/Φ(P)上的诱导作用不可约.另一个等价形式是将Φ(P)替换成导群P’,我们有类似的刻画.定理2’.设有限群A互素作用在有限p-群P≠1上,则该作用为极小非平凡作用当且仅当下面的两个条件是同时成立的:(1)CP(A)=P＇,(2)A在P/P＇上的作用不可约.使用上述定理1和定理2,我们即可给出内幂零群结构的一个新的刻画.定理3.设G为有限群,則G为内幂零群当且仅当下面的三个条件是同时成立的:(1)G = P ×Q,P ∈ Sylp(G)正规,而Q ∈ Sylq(G)循环,其中p,q为不同素数;(2)CO(P)= Φ(Q),CP(Q)=P＇=Φ(P),其中 Φ(Q)为 Q 的 Frattini 子群;(3)d(P)=ordq(p),其中d(P)为P的最小生成元个数,即|P/φ(P)| =d(p),而ordq(p)是满足同余方程pr三1(mod q)的最小正整数r.从定理3出发,我们获得了一个“极小阶”的内幂零群的构造,可视为具有相同素因子的内幂零群的共同的商群.定理4.任取两个不同的素数p和q,设d = ordq(p),即d为满足同余方程p≡ 1(mod q)的最小的正整数.设P=Cp×…×Cp 是pd阶初等交换p-群,而Q = Cq为q阶循环群,则Q同构于Aut(P)的一个子群,且相应的半直积P × Q为一个内幂零群.进而,如果G是任意的一个内幂零群并且丨G| =paqb 那么P×Q同构于G的一个商群,由此表明P × Q是所有内幂零的{p,q}-群中的最小阶者。