周期性振荡微分方程广泛存在于分子动力学、天文学、经典力学、量子力学、化学、生物学及工程等领域.由于大部分微分方程的解析解难以得到,所以数值解法的研究显得尤为重要.对微分方程初值问题,至今人们已建立了三类基本的数值积分方法：Runge-Kutta (RK)方法,Runge-Kutta-Nystrom (RKN)方法和线性多步法(LMM).与RK方法及RKN方法相比,线性多步法具有结构简单、计算精度高和计算效率高等优点.过去十年中,有大量的工作研究适应于振荡微分方程的RK方法和RKN方法.本论文旨在研究求解一阶与二阶振荡问题的保结构线性多步法.本文分为四章.作为全文的预备知识,第一章概述了一阶常微分方程初值问题线性多步法的一些重要性质,着重于阶条件与收敛性.证明了适定的线性多步法保持一次不变量.对二阶振荡常微分方程,提出了对称线性多步法的伪相延迟概念.在此基础上通过相延迟的导数建立了指数拟合的一个新的等价条件.给出并证明了高阶常微分方程线性多步法代数阶的一个等价条件.第二章构造了一列伪相延迟为零、伪相延迟的导数及积分为零的显式对称线性八步法.新方法应用到两个著名的周期轨道问题上.数值试验结果显示新方法优于Simos2004年得到的方法.第三章研究两导数线性多步法的性质.用线性算子给出局部误差公式,证明了收敛性的一个必要条件,并证明适定的两导数线性多步法能够保持方程的一次不变量.最后给出并证明了代数阶的一个等价条件.第四章在线性谐振子解的结构启发下,引入一个新的差分算子,在此基础上创建了一类新的P-稳定对称扩展线性多步法(SELM)及相应的预估-校正方法.具体构造了两步、四步、六步及八步显式和隐式的SELM方法.用显式八步SELM方法预估,再用隐式SELM方法校正,得到一个新的八步预估-校正SELM (SELMPC)方法.对每个新方法给出了误差分析.与文献中几个的同阶方法相比,新的SELMPC方法的误差系数是最小的.数值实验的结果表明新的方法优于文献中若干同步同阶的方法.最后简要地总结了本文的主要贡献,提出了未来研究的课题.