真实的物理系统一般都涉及无穷多自由度以及自由度之间的关联相互作用。量子场论中的微扰论对此提供了很系统的解决方法。但是当没有小参量可以做展开时,微扰论失效了,这时候不得不借助非微扰的方法。而泛函重整化群是近些年流行的一种非微扰方法,能有效地将系统的涨落考虑进来。泛函重整化群核心概念是有效平均作用量,它满足精确的泛函微分方程(Wetterich流方程),它具有单圈结构,以经典作用量作为初始条件。重整化群方法一般适宜用来研究二阶相变和临界现象。但是由于对初始条件的灵活处理,使得泛函重整化群也非常适合研究一阶相变,譬如拉氏量中包含对称性精确破缺项的模型。我们充分利用这一优点着重研究了与一阶相变有关的物理问题。我们在泛函重整化群框架下研究了具有σ、π和ω介子的夸克介子模型,得到了两味无质量量子色动力学在有限温度密度下的相图。在流方程中不仅包含了σ、π介子的动力学涨落,也包含了 ω介子振幅的涨落。以往的研究只利用平均场方法研究了 ω介子对相图的影响,我们首次考虑了ω介子的涨落。高温时ω介子对相边界的影响和平均场方法一致;然而当温度下降时,一阶相变线弯曲到低密度区域,并且随着耦合常数增大,弯曲程度增大。在我们的泛函重整化群方法的计算当中,低温的一阶相变线是由涨落导致的而不是由夸克密度导致的,并且ω介子对它有很小的影响。低温时,有效平均势在序参量小的时候对红外端能标非常敏感,并且很大程度上影响了相边界。三相临界点的临界化学势对ω介子影响较大,而临界温度几乎不受影响。值得一提的是,QCD相图的临界结点在实验当中仍然没有发现,我们的研究对将来的束流能量扫描(BeamEnergy Scan,简称BES)实验有着一定的指导意义。我们还首次在泛函重整化群的框架下研究了液晶中向列相-各向同性液体相变(Nematic-Isotropic Phase Transition,简称NI相变),我们求解了描述这一相变的Landau-DeGennes模型,得到了有效平均势所满足的完备的流方程,并简化后得到了“耦合常数”所满足的偏微分方程组。利用Newton-Raphson算法,我们数值求解了该方程组,得到了有效平均势的演化规律,清楚地观察到了一阶相变。最后在这些计算的基础上,我们重新考察了著名的NI疑难,也就是温度差TN1-T*的实验值(约1K)远小于理论值的问题,其中TNI是发生一阶相变时的温度,而T*是过冷态(各向同性液体)的绝对极限温度(即过冷态刚好消失时的温度)。我们得到的结果是5.85K,我们希望将来在此基础上做进一步的优化改进,以期得到更好的结果。我们的工作表明FRG可以成为解决NI疑难的一个有希望的可能途径。