19世纪中叶,Sturm-Liouville问题得以到了研究,它是为了描述固体的热传导而建立起来的数学模型.该问题在许多领域有着重要的地位和作用,比如经典物理学、量子力学、地球物理、气象物理、工程技术等.随着连续Sturm-Liouville问题的不断解决,数学家们开始关注差分问题.差分方程早期用以描述自然界中的离散现象,这种离散现象往往以递推关系为基础,如随机序列、组合分析、遗传学、生物学等.所以在应用方面有很多方便之处;而且,我们所建立的某些物理现象的数学模型可能是差分的,加之有些连续问题通过离散化后更容易解决,这就使得差分Sturm-Liouville问题的研究变得非常重要.关于差分Sturm-Liouville边值问题,1964年,Atkinson研究了自伴差分系统的谱问题[2].1978年,Hartman研究 了差分Sturm-Liouville问题的谱[12],同年,Hinton以及Lewis研究了二阶正则向量差分边值问题[15].1987年,Hooker研究了差分方程的格林函数以及其共轭性[16].1989年,Chen以及Erbe研究了在自伴边界条件下,二阶差分系统的振动型和非振动型[6].1991年,Peterson以及Ridenhour研究了离散形式下的Prufer变换[32].2010年,R.Ma,C.Gao,和Y.Lu研究了具有变号权的二阶差分算子的谱结构,并且应用西尔维斯特惯性定理证明了谱包含实特征值和简单特征值,正特征值的个数等于权函数中正元素的个数,负特征值的个数等于权函数中负元素的个数[25].至今,差分系统谱理论越来越趋于完善.本文将研究不定差分Sturm-Liouville方程在一般分离型边界条件下特征值的问题.首先,回顾了右定差分Sturm-Liouville问题的相关性质结论.接着,利用上述性质结论以及Schwarz不等式等,得到了非实特征值上界的先验估计,并给出了一个求非实特征值的例子.并且,利用Krein空间的相关知识,给出了实特征值下界的先验估计.最后,利用PT对称方法证明了非实特征值的存在性.主要研究工作安排如下:第一章,绪论.主要介绍了本文所研究问题的研究的背景,实际的来源和研究的现状.第二章,预备知识.回顾右定差分Sturm-Liouville问题的相关理论知识以及本文需要用到的相关结论.第三章,利用Schwarz不等式以及Krein空间的相关知识,估计一般分离型边界条件下,不定差分Sturm-Liouville问题特征值的界,包括非实特征值的上界和实特征值下界.第四章,主要研究一般分离型边界条件下,不定差分Sturm-Liouville问题非实特征值的存在性.首先,给出了不定差分Sturm-Liouville问题的一些性质;然后,证明了不定差分Sturm-LiouvilleL问题非实特征值的个数与其相应右定差分Sturm-Liouville问题负特征值的个数有关;最后,得出结论,并用PT对称方法证明了不定差分Sturm-Liouville问题非实特征值的存在性.