不适定问题产生于许多科学领域,如地球物理学,生物医学和天体力学等。该问题求解的主要困难在于近似解的不稳定性,即初始数据的微小扰动会引起近似解与真解的较大偏差。借助正则化技巧,设计有效的算法是求解不适定问题的重要研究内容。本文主要研究线性不适定问题(即第一类Fredholm积分方程的离散系统)的正则化技巧,对已有的算法加以改进,并建立新的算法。研究成果包括:在第一部分(第二章),我们给出了线性离散不适定问题的一种修正的正则化方法。奇异值分解理论表明,病态方程的不适定性,体现在奇异值逐渐减小趋于零。因此我们考虑引入适当的正则化滤子函数来减弱或过滤奇异值趋于零对解的稳定性的影响,借此来构造正则化矩阵,从而提供建立正则化方法的理论依据。从这个想法出发,通过引进一个正则参数,我们给出了一个新的正则化过滤因子,从而得到了一种修正的Tikhonov正则化方法,并讨论了正则参数的选取问题。同时研究了该方法分别与Arnoldi过程和增广的Krylov子空间方法相结合的两种正则化方法。数值实验表明,与经典的正则化方法相比,在运算复杂度类似的情况下,该方法可以降低正则解的相对误差。在第二部分(第三章-第五章),我们研究了图像去噪去模糊问题,该问题是图像处理领域中的热点问题。基于能量泛函最优的变分方法,我们为特定的图像处理问题定义某个能量泛函,从而将特定的图像处理问题转化为求该能量泛函极小的最优化问题。在第三章中,为克服整体变分的局限性,我们考虑一阶和二阶全变分混合模型,它以λ||u||TV+(1-λ)||u||HTV为正则项。为避免求解一个高阶问题,我们提出一个分两步求解该模型的算法。首先通过变量分裂两次将该模型简化为几个低阶的问题,然后利用增广的拉格朗日方法和分裂的Bregman方法求解这些问题。我们从理论上证明了该算法的收敛性,并从数值实验上验证了算法的有效性。在第四章中,我们考虑lq-;q问题minu{λ/p||▽u||pp+1/q||Au-f||qq},0<p,q≤2。这个问题是图像恢复和重建中具有挑战性的课题。R.H.Chan在2014年给出了一个半二次算法。该算法求解过程中提出用共轭梯度方法求解一个对称正定系数矩阵的方程,这无疑增加了该算法的计算量。为了改进算法的有效性并充分利用梯度算子和模糊算子的特殊结构,我们提出用交替方向法求解这个方程,同时讨论了算法的收敛性。数值实验结果表明提出的新算法能有效节省计算量同时也提高了图像的信噪比。在第五章中,我们研究了图像去除脉冲噪声问题。因为自然图像大多数都可以看做分片光滑的函数,而小波函数可以提供分片光滑函数很好的稀疏表示,从而保持图像的纹理信息。结合整体变分能保持图像的边缘的特性,我们提出了一个基于紧框架的图像恢复模型minu{||Hu-g||1+α||u||TV+β||Wu||1},并采用交替方向法求解该模型。数值实验表明该模型有效地保持了图像的边缘和纹理信息。