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科学与工程计算中,有限差分方法,有限元方法,以及有限体积方法都是解偏微分方程的有效数值方法.近年来,最小二乘有限元法也引起了部分学者的关注和发展.为了有高阶精度,有学者还考虑了最小二乘谱方法.本文主要研究偏微分方程的Legendre-Galerkin Chebyshev配置(LGCC)最小二乘法.即,通过引进一个通量将原问题写成等价的一阶系统,然后对其建立LGCC最小二乘方法.接着,对该格式进行理论分析以及用数值算例加以验证.本文内容可归纳为如下几部分：第一部分考虑一维的偏微分方程.首先,针对变系数两点边值问题构造LGCC最小二乘法.接着推导格式的强制性和连续性,以及误差估计.其次,还发展该方法的多区域形式,并探讨算法的并行化和推广单区域的理论结果.然后,研究含两类非齐次跳跃条件抛物方程的多区域LGCC方法,该格式对第一类和第二类跳跃条件分别本性和自然性处理.该方法被用于Stefan问题的计算.最后,考虑含间断变系数两点边值问题的多区域LGCC最小二乘格式和对应的理论分析.第二部分对两维的椭圆方程,首先,研究两维变系数椭圆方程的LGCC最小二乘法.给出两维Chebyshev插值算子的稳定性分析和逼近结论,由此导出格式的强制性和连续性,以及得到关于H1-范数的误差估计.其次,将该方法应用于Stokes方程的求解以及给出其理论分析.然后,发展含两类跳跃条件两维变系数椭圆方程的多区域LGCC以及对其设计并行实施算法.最后,还考虑含跳跃条件变系数椭圆方程的多区域LGCC最小二乘法以及探讨其并行实施算法.推广前面对光滑函数的Chebyshev插值的稳定性分析和相关的理论结论.第三部分针对三角形上变系数椭圆方程,我们发展Legendre-Galerkin数值积分(LG-NI)三角单元最小二乘法,并且对其强制性与连续性,以及收敛性进行分析.进一步,结合对区域内部使用矩形单元划分和对边界采用适当三角元剖分,还研究多边形上变系数椭圆方程的多区域LG-NI最小二乘法和它的收敛性.最后一部分探讨发展方程LGCC最小二乘法.首先构造抛物方程LGCC最小二乘法以及其的多步形式,并且给出它在Burgers的应用.进一步,讨论两种非线性发展方程的LGCC最小二乘法.对Burgers方程,先对它的一阶系统用Crank-Nicolson方法离散,接着对其空间设计LGCC最小二乘法.另外,将该方法应用于两维非线性抛物方程.本文的方法基于Legendre-Galerkin最小二乘法,对变系数用Chebyshev插值处理.该方法可导出对称正定代数方程,使其便于应用迭代方法求解.注意到它还继承了Legendre的良好稳定性和避免Chebyshev权函数在区域的交界出现的奇性。