【摘 要】
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矩阵优化问题是数值代数和数值优化研究的重要课题之一.它在信号处理、图像处理、机器学习、数据分析、金融工程、量子计算、系统与控制理论和高维统计等科学与工程领域有着广泛的应用.本论文系统研究了如下几类具有广泛应用背景的矩阵优化问题的数值求解方法.为了提高聚类的精度,首次将Q-加权范数应用于非负矩阵分解,从而考虑了Q-加权范数下的非负矩阵分解问题（?）基于Q-加权范数的可加性表示方法,将该问题转化为一类
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矩阵优化问题是数值代数和数值优化研究的重要课题之一.它在信号处理、图像处理、机器学习、数据分析、金融工程、量子计算、系统与控制理论和高维统计等科学与工程领域有着广泛的应用.本论文系统研究了如下几类具有广泛应用背景的矩阵优化问题的数值求解方法.为了提高聚类的精度,首次将Q-加权范数应用于非负矩阵分解,从而考虑了Q-加权范数下的非负矩阵分解问题（?）基于Q-加权范数的可加性表示方法,将该问题转化为一类矩阵迹函数极小化问题,设计双变量非线性共轭梯度方法进行求解,给出了算法的收敛性分析和计算复杂度分析,并用数值例子验证了新算法的可行性和有效性,尤其是聚类分析中的仿真实验说明了新算法比传统的EM-WNMF算法和ANLS-WNMF算法聚类精度高.研究了三因子非负矩阵分解问题（?）首先利用加权范数的性质,将该问题转化成一类矩阵优化问题,给出了解的最优性条件。设计了近端交替最小二乘方法进行求解,证明了收敛性定理.为了提高该算法的收敛速度,我们将增强线搜索技术运用于近端交替非负最小二乘方法进行加速,数值实验表明,近端交替非负最小二乘方法及其加速方法比传统的WNMTF算法收敛速度快,聚类精度高.研究了多因子非负矩阵分解问题（?）首先将该问题等价转化为迹函数极小化问题,基于KKT条件设计了求解的乘性更新算法,通过引进辅助函数给出了新方法的收敛性.数值实验表明新算法是可行的,收敛速度比交替非负最小二乘方法快.考虑了量子计算中的一类矩阵凸可行问题,即寻找一个mn′mn阶半正定矩阵X=(X ij)i,j=1,2,,n,其中块矩阵Xij?Cm′m满足（?）其中（?）为给定的密度矩阵,这里称迹为1的半正定矩阵为密度矩阵.基于矩阵方程理论刻画了矩阵凸可行问题的可行集,得到了解析表达式.利用可行集的结构性质和KKT条件,得到了可行集投影点的计算公式.构造了求解此问题的松弛交替投影算法,进行了细致的数值分析.数值实验表明新算法比交替投影算法和同时投影算法收敛速度快,更适用于大规模问题.研究了基于矩阵方程的矩阵最佳逼近问题（?）其中W={X?SPn′n|AXB=E,CXD=F}.我们首先将该问题等价转化成计算三个闭凸集的交点问题,再给出了三个闭凸集投影点的计算公式,设计Dykstra交替投影方法进行求解,数值实验表明新方法是可行有效的.
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