【摘 要】
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反问题在许多领域有着非常广泛的重要应用,例如医学成像、现代工业、气象预报等等.也因此,数值求解反问题引起了广泛关注.在本论文中,我们考虑以下几类反问题:带箱型状态约束的椭圆型最优控制问题;带积分型状态梯度约束和箱型控制约束的椭圆型最优控制问题;图像恢复中的病态的线性反问题.受到一阶算法成功用于求解大规模有限维优化问题的启发,我们试图研究如何利用一些有效的一阶算法并结合这些问题的结构来更有效地求解它
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反问题在许多领域有着非常广泛的重要应用,例如医学成像、现代工业、气象预报等等.也因此,数值求解反问题引起了广泛关注.在本论文中,我们考虑以下几类反问题:带箱型状态约束的椭圆型最优控制问题;带积分型状态梯度约束和箱型控制约束的椭圆型最优控制问题;图像恢复中的病态的线性反问题.受到一阶算法成功用于求解大规模有限维优化问题的启发,我们试图研究如何利用一些有效的一阶算法并结合这些问题的结构来更有效地求解它们,取得的主要成果如下:1.带箱型状态约束的椭圆型最优控制问题.对于逐点状态约束,相应的拉格朗日乘子是Borel测度函数,这使得最优性条件中的互补性条件无法表示成逐点的形式.Lavrentiev正则化被用来解决这一困难,然后我们用分片线性有限元全离散方法来离散正则化的问题.我们关于正则化和离散化带来的误差给出了误差分析,由此可以看到全离散的误差阶并不比变分离散的误差阶差.为了数值求解离散问题,我们提出了一种异构交替方向乘子法（hADMM）以及一种两阶段策略,它们分别用来得到中等精度和高精度的解.2.带积分型状态梯度约束的椭圆型最优控制问题.我们首先证明了该问题的最优性条件并提出了一种有限元对偶的不精确majorized加速块坐标下降（FE-dABCD）算法用于求解该问题.具体地,我们用标准的分片线性有限元方法来离散该问题并给出了离散问题的对偶问题,该对偶问题是一个多块无约束凸优化问题.然后一种不精确majorized ABCD算法被用于求解该对偶问题.在求解子问题时,我们使用了一些有效的策略,这使得FE-dABCD算法享有O（1/k2）的迭代复杂度.此外,基于ABCD算法的网格独立性,我们还提出了一种多层FE-dABCD（mFE-dABCD）算法.3.图像恢复中的线性反问题.我们利用问题中隐藏的两个结构来改进快速迭代收缩阈值算法（FISTA）并称所提出的改进算法为结构化FISTA（sFISTA）.我们探索的第一个结构是系数矩阵的Kronecker积近似,这一结构不仅可以引入一层并行,还使得在后续的优化进程中可以使用计算密集的矩阵-矩阵乘法.第二个结构则是在Kronecker积近似中出现的所有矩阵均为具有特殊结构的矩阵（Toeplitz,Hankel等）,这使得我们在每次迭代时可以探索它们的快速矩阵-向量乘法.此外,我们证明了 Kronecker积近似带来的误差是可控的并且sFISTA可以达到与FISTA相同的精度水平.
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