最优性条件对于数学规划的重要性是不言而喻的。许多算法的设计与应用都建立在最优性条件的基础上。一般优化教材中仅讨论了低阶的最优性条件(1,2阶),这在实际中虽有广泛应用,但仍有许多情况下仅有低阶最优性条件是无法准确判断函数在某点处的性态。所以有必要对无约束优化的最优性条件进行更为详尽的研究,得到更高阶的最优性条件。组合二次优化问题是指目标函数为二次函数,约束条件为决策变量的分量只能取有限个或可数个整数的优化问题(例如只能取-1或1)。这类问题在近代数学优化理论中占据很重要的地位。随着社会的进步以及科学技术的发展,组合二次优化问题广泛用于图论,信号处理,通信系统,相关聚类等重要领域。因此,研究组合二次优化问题具有重要的意义。本文的主要工作如下：(1)本文利用张量的方法表示了多元函数f(x)的泰勒展式,并给出了无约束优化问题的更一般的最优性条件：n阶最优性条件。这使得无约束问题的最优性理论更为完整。对于无约束极小化问题的局部极小点x*成立：若x*为局部极小点(?)x*处的所有可行方向均不是f(x)的下降方向。即在x*处,对于(?)d∈Rn均满足d不是x*处的下降方向。在理论的证明中,我们通过证明(?)d∈Rn均满足d是x*处的上升方向得到了高阶的充分条件,利用反证法证明了高阶的必要条件。随着计算机软件技术的发展,利用高阶最优性条件(大于2阶)设计算法将会受到越来越多数学工作者的重视。(2)本文针对目标函数为二次函数,约束条件为决策变量的分量只能取-1或1的组合二次极大化问题(为了方便,在本文中将该问题称为BQP问题),提出了一个基于半正定松弛方法的改进算法：AZX算法。AZX算法建立在Charikar和Wirth的算法基础上并利用了半正定松弛和二次函数的凸性得到了与Charikar和Wirth的算法相同的近似比率。AZX算法还可以应用在最大割问题中,在无向图边权之和非负的条件下,可以得到问题的近似比率,这放松了Goemans和Williamson文章中要求边权非负的条件。数值试验表明,AZX算法的计算效果与Goemans和Williamson的算法相当,且明显优于Charikar和Wirth的算法。