近年来,声子晶体相关方面的研究得到了广泛的关注和重视。一方面,声子晶体存在弹性波禁带的现象使得声子晶体具有很大的应用价值,引起了很多学者的关注；另一方面,声子晶体中存在类似光子晶体中的负折射现象,其应用价值和相关研究也吸引了学者们的目光；此外,由于声子晶体在低频时具有均一特性,使得部分学者积极开展关于声子晶体低频长波极限方面的研究,这一方面的相关研究和发现对实际工程应用也有一定的价值。本文就是对二维声子晶体中低频长波极限下弹性波传播的有效速度情况进行了研究。在低频时,弹性波的波长较长,尤其是相对于晶格的长度。弹性波波动传播时一个波长会经历多个晶格周期,此时波动在这种非均匀性周期介质中的传播和弹性波在均匀性介质中的传播相似。因此,可以将长波极限下的声子晶体看成是有效归一化的介质,并对此归一化介质中弹性波传播的有效速度情况进行研究和定性定量分析。对于以固体介质为基体的声子晶体,通过其中的弹性波的波动一般情况下存在三个相互耦合的波动模式。对于本文研究的二维的具有轴对称形状的声子晶体,水平极化的横波与xy平面内的极化波动是相解耦的。本文中我们利用平面波展开法,得到倒格矢空间中波动特征方程,通过求解此特征方程,可以计算声子晶体中弹性波的传播情况,并利用其第一禁带以下的低频线性部分,估算声子晶体中弹性波的传播速度,得到其中弹性波传播的慢度曲线。通过计算正方形晶格排列的空气柱嵌入PVC基体的声子晶体中的慢度曲线,本文所采用的方法计算得出的结果与运用有限元方法计算得出的结果和已有运用推导公式计算出的结果均具有很好的一致性。数值仿真结果显示声子晶体中有效速度具有各向异性的特点,本文具体研究了材料物理参数、嵌入物填充率以及晶格拓扑形状对有效速度各向异性的影响。长方形晶格型声子晶体比正方形晶格声子晶体具有更明显的各向异性。对于具有正方形晶格排列的声子晶体周期平面内传播的弹性波,SV波慢度曲线向内凹,L波慢度曲线向外凸,SH波的慢度曲线为圆形(各向同性),此时有效速度的慢度曲线呈现中心对称,在周期平面内有四重对称性；而对于长方形晶格型的声子晶体,SV波和L波的慢度曲线各向异性更为明显,不再是中心对称的,而是在周期平面内的二重对称；并且,标量波SH波的慢度曲线不再是各向同性,而是各向异性,近似椭圆形状。弹性波有效速度的各向异性与构成晶体材料的物理参数,嵌入物的填充率和晶格形状有关系。通过选择参数相差较大的材料组合,调整嵌入物的填充率和长方形晶格的形状,可以获得较大的各向异性速度。这些分析结果和规律便于我们在工程应用上更好的控制弹性波传播的有效速度。除此之外,本文还研究了液体体系的声子晶体中声波传播有效速度的分布情况。发现长方形晶格排列的声子晶体中声波的有效速度是各向异性的,且速度的各向异性主要受声子晶体组成材料的质量密度影响,而与材料的弹性常数关系不大,即可以认为速度的各向异性表现了液态体系复合材料等效密度的各向异性。根据液态体系声子晶体中声波的波动方程与固态体系中SH波波动方程的相似性,我们认为SH波的各向异性主要受弹性常数C44的影响。这为近一步推导长方形晶格排列声子晶体中弹性波有效速度的经验公式和复合结构中等效密度和等效弹性常数等参量提供了一定的指导。