在生物学和人口统计学中,建立基于年龄结构的种群模型是进行数学建模及控制的一种传统方法。深入研究生物种群的演变规律,对保护生物多样性、管理可再生资源、控制病虫害及预防流行病等具有重要的意义。近年来,考虑个体Size结构的种群模型引起了很多关注,并得到了一些研究成果。这里的Size表示与种群个体有关的某个连续指标,例如重量、长度、直径、体积、成熟度,或者显示种群个体生理或统计特征的其它数量指标。因此年龄结构是Size结构的一种特殊情形。一般来说,Size指标比年龄指标更直观、更容易测量,并且Size结构模型能更好地描述许多种群的演化过程,特别是对海洋无脊椎生物(如藤壶、珊瑚)和许多变温动物(如鱼、蛇)。另一方面,Size结构模型对开发利用可再生资源具有重要作用。本文考虑几类具有Size结构的种群动力系统,研究它们的动力学性态(如解的存在性,唯一性,非负性,有界性,稳定性,解对模型参数的连续依赖性等)和控制问题(如最优收获控制,最优出生率控制)。综合应用(线性和非线性)泛函分析(如算子半群理论,Mazur定理,Ekeland变分原理等),微分方程,积分方程,以及现代控制论等工具,得到一些理论成果,为模型的实际应用提供了必需的科学理论依据。本文的主要工作如下:众所周知,种群个体的生存离不开资源(如食物)。基于如此考虑,在第二章建立并分析了一个带有两种资源制约的Size结构种群模型,还考虑了有新生个体从外界环境迁入的情形。在第一节,以偏微分方程、微分-积分方程组建立了一个非线性模型,给出了正平衡解的求解方法。接着在第二节,对非线性系统进行线性化,并利用算子半群相关理论得到了线性化系统的一些性质。然后在第三节,推导出特征方程,并借此给出了平衡解的稳定和不稳定条件。最后在第四节,给出了两个例子及相应的数值模拟,用以说明理论结果的有效性,并将该模型推广到多种资源制约的情形。第三章研究具有Size结构种群模型的最优控制策略。第一节主要处理最优收获问题:首先给出基本模型及模型参数的相关假设;接着利用Banach不动点定理和Bellman不等式,证明了状态系统解的适定性、有界性,以及共轭系统解的存在唯一性;然后借助Mazur定理,证明了最优控制的存在性;最后应用切锥法锥技巧,给出了最优性条件,并证明了最优控制的唯一性。第二节则以出生率为控制变量讨论了一个最优控制问题:先给出基本模型及相关假设,证明了状态系统及其共轭系统解的存在唯一性,并给出了几个关于它们解的估计式,这些估计式将在证明最优控制的唯一性时被用到。然后借助切锥法锥技巧,给出了最优性条件,并利用Ekeland变分原理证明了最优控制的存在唯一性。最后给出了例子及相应的数值结果。我们在这章中得到的结论推广了年龄结构种群模型的相应成果。虽然我们的基本模型并不复杂,但是研究结果显示,种群个体的价格因素在处理带Size结构的种群模型的控制问题时起着关键作用。