【摘 要】
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分数阶微积分是研究任意阶积分或导数性质的一个分支,分数阶微分方程是在整数阶的基础上的一个扩展,它被广泛应用于各个领域,在很多工程问题上,它比整数阶更好的描述系统,在生产过程中时常要求系统的某种性能指标达到最优,我们不得不从最优控制的角度去研究和分析,而对于分数阶微分系统,我们也有相对的最优控制问题,因此分数阶最优控制问题被越来越多的学者广泛关注.本文主要是对分数阶微分方程及最优控制问题的高阶数值算
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分数阶微积分是研究任意阶积分或导数性质的一个分支,分数阶微分方程是在整数阶的基础上的一个扩展,它被广泛应用于各个领域,在很多工程问题上,它比整数阶更好的描述系统,在生产过程中时常要求系统的某种性能指标达到最优,我们不得不从最优控制的角度去研究和分析,而对于分数阶微分系统,我们也有相对的最优控制问题,因此分数阶最优控制问题被越来越多的学者广泛关注.本文主要是对分数阶微分方程及最优控制问题的高阶数值算法研究,本文第一部分首先利用分段二次拉格朗日插值方法构造了一个Caputo非线性分数阶常微分方程的高阶数值格式,然后分析了高阶数值格式的局部截断误差.其次,基于局部截断误差,得到了3-阶收敛阶,其中表示分数阶导数的阶数.并对其稳定性和收敛性进行了严格分析.最后,对高阶数值格式进行了数值模拟.通过对典型问题的计算,验证了数值算法的有效性和理论分析的正确性.本文第二部分是在第一部分的基础上,主要采用先优化后离散的方法构造了Caputo分数阶偏微分方程最优控制问题的数值格式,然后在时间和空间上都采用有限差分进行离散,并对其局部截断误差进行了严格分析.最后,通过数值算例验证了数值格式的有效性.
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