在描述液晶动力学行为的模型中,Doi-Onsager理论是基于统计力学的微观理论,Ericksen-Leslie理论是从连续介质力学出发得到的宏观理论。这两个理论在液晶动力学研究中起着基本的作用,而且在实际中被广泛应用。本文从微观Doi-Onsager理论出发,给出了宏观Ericksen-Leslie理论的一个严格推导,从而在数学上证明了这两个不同尺度、且从不同观点得到的模型之间的一致性。　　对于匀质系统,Kuzzu-Doi[34]从Doi-Onsager模型出发,在参数Deborah数趋于0时,利用形式渐近展开推导了Ericksen-Leslie模型。但由于他们考虑的系统是匀质的,因此无法得出Ericksen应力。E-Zhang在[20]中通过引入卷积型的非局部位势,建立了非匀质系统的微观Doi-Onsager模型,同样也利用形式渐进展开在Deborah数趋于0的极限下推导出了完整的Ericksen-Leslie模型。本文的第一部分工作证明了在小Deborah数极限下,Doi-Onsager方程的解将收敛到Ericksen-Leslie方程的解,从而给两个理论之间的一致性建立了严格的数学基础。　　类似于Boltzmann方程的流体动力学极限问题,首先需要从Ericksen-Leslie方程的光滑解出发,对Doi-Onsager方程的解作Hilbert展开。Hilbert展开的存在性很不显然,它依赖于Ericksen-Leslie系统能量的耗散性。对这一点,本文证明了,从Doi-Onsager方程推导出的Ericksen-Leslie方程是能量耗散的。接下来问题的最大困难在于如何对Hilbert展开式余项得到一致控制估计,这与线性化算子的谱稳定性有关。通过观察到该线性化算子的一个分解形式,我们得到了它的核空间和谱的详细信息。这些信息足以使得我们建立匀质系统的小Deborah数极限,还对非匀质系统还不够,因为速度方程中的弹性应力项仍然是奇异的。为此,需要对一个与线性化算子相关的双线性形式建立一个精确的下界估计。该双线性形式关于位置空间是非局部的,因此线性化算子的核内和核外部分在该形式中的相互影响非常复杂。通过对指向空间构造一个坐标变换,并且引入一个五维的线性空间(称为Maier-Saupe空间),作者得到了该双线性形式在Maier-Saupe空间内和空间外的不同形式的下界估计。对于Maier-Saupe空间之外的部分,可以得到强的控制;而对于Maier-Saupe空间之内的部分,只能得到较弱的控制。通过引入适当的能量泛函以及对奇异项结构的精细分析,并充分利用双线性形式的两部分下界控制,从而最终对余项得到了封闭的误差估计。这部分详细内容参见第三章到第五章。　　上述整个过程的前提是要求完整的Ericksen-Leslie方程存在光滑解,而在以往的研究中,由于它的完全形式过于复杂,大多数研究者在研究解的存在性时,通常都将Leslie应力忽略掉,仅仅保留Ericksen应力,同时用Ginzburg-Landau逼近来放松指向场模长为1的限制条件。因此,本文研究了完整形式的Ericksen-Leslie方程光滑解的存在性。首先作者细致分析了整个系统能量耗散中的抵消关系,将原方程化成了一个等价的形式,在该形式下推导先验能量估计时,不需要用到指向矢模长为1的条件,从而使得逼近解的构造变得简单。对于该等价形式,作者利用经典的Friedrich方法构造了逼近解,并证明了逼近解的收敛性,以及原方程解的存在唯一性。同时,本文建立了Beale-Kato-Majda型爆破判据,并利用该判据证明了小初值光滑解的整体存在性。值得一提的是,前人的工作均要求所有耗散项的系数都大于0或者流体黏性系数足够大(该两个条件对很多实际系统并不满足),而本研究对各耗散系数的要求降低到了最优。该结果为本文前一部分研究提供了完备的基础,详细内容参见第二章。这是本文第二部分成果。　　液晶理论的一个重要应用是生物细胞膜问题,因为细胞膜可以看成是两层排列成近晶相的磷脂分子。本文第三部分研究了细胞膜的动力学方程的适定性。细胞膜动力学模型中包含了膜曲面的演化和其上二维不可压流体的动力学,整个系统构成了一个耦合了抛物型、椭圆型和双曲型方程三类方程的方程组。它的求解是一个自由边值问题,在通常的拉格朗日坐标下很难得到封闭的能量估计。本文引入等温坐标将曲面重参数化,并利用等温坐标下几何量之间的简化关系,得到了封闭的先验能量估计。但是通常的迭代格式很难保证等温关系一直成立,从而在对逼近系统做能量估计时,仍然会带来导数损失。因此本文利用等温坐标下几何量之间的关系,构造了新的迭代格式,但这也产生了新的问题,即收敛系统和原系统的等价性。最后我们通过利用曲面中的各种几何关系以及很多复杂的计算,最终证明了它们的一致性。详细的内容见本文第六章。