随机过程是研究偶然现象的重要手段。高斯过程是最重要的随机过程。它是信号处理的重要工具,与核函数、紧算子、小偏差概率联系紧密,且有十分良好的性质:线性组合正定性、协方差函数的正定性、独立与不相关等价性等等。本文“高斯过程协方差函数的正定性与Karhunen-Loeve展开”以高斯过程为核心,讨论了几类协方差函数的正定性,及其Karhunen-Loeve展开,最后用它的协方差函数构造了相应的再生核希尔伯特空间。本文主要研究内容如下:(1)讨论了复数域上的正定函数的定义、性质、判别法。研究了利用内积的分解判别法和利用半正定矩阵的判别法,并且根据矩阵构造了正定函数。(2)研究了高斯过程协方差函数的正定性,得到了几类高斯过程的Karhunen-Loeve展开。(3)根据高斯过程Karhunen-Loeve展开与再生核希尔伯特空间的联系构造了高斯过程对应的再生核希尔伯特空间。本文结构如下:第一章绪论介绍了本课题的背景、现状等相关情况;第二章系统研究了二元函数的正定性;第三章给出了几类高斯过程的Karhunen-Loeve展开;第四章用第三章的高斯过程构造对应的再生核希尔伯特空间。