【摘 要】
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矩阵优化问题(Matrix Optimization Problems)可分为变量为矩阵的优化问题(或称矩阵函数极值问题)和矩阵值函数极小化问题(或称为函数矩阵极值问题)。关于变量为矩阵的优化问
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矩阵优化问题(Matrix Optimization Problems)可分为变量为矩阵的优化问题(或称矩阵函数极值问题)和矩阵值函数极小化问题(或称为函数矩阵极值问题)。关于变量为矩阵的优化问题,我们所熟知的半定规划(Semidefinite Programming)是这类问题的典型代表,还包括特征值优化、二阶锥约束优化、最大割问题以及最低秩相关系数矩阵问题,近十几年该类问题的成果颇丰。本文重点讨论矩阵值函数极小化问题(Matrix valued function minimization problem,简称MVFM),这类问题对于矩阵不等式、复杂网路优化、约束矩阵方程、算子方程和广义最小二乘问题等领域都有重要应用。本文的第一章为全文的绪论部分,概括了目前矩阵函数的发展概况,并给出了多目标优化和半定规划的简介。除了这章本文的主要内容为：第二章给出了矩阵值函数基本定义和相关理论。第三章借鉴多目标规划和抽象空间上向量优化中有效点、弱有效点的定义给出了矩阵集极值问题在S序、非负定序、权序这几种序关系条件下有效阵、弱有效阵的定义。第四章在第三章的基础之上给出了矩阵值函数极小化问题在上述三种序关系条件下有效解(弱有效解)的定义,另外又给出了矩阵值函数α度有效解(α度弱有效解)的定义,同时给出了这几种解的性质。第五章给出了矩阵值函数极小化问题在广义最小二乘中的应用并给出了矩阵方程AX=B的一些结论。
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