【摘 要】
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实值函数是拓扑学中刻画某些空间的有力工具,很多空间类都可以用满足一定条件的实值函数刻画,如拓扑空间,正规空间、半层空间、完备正规空间等.如k-半层空间的一个刻画:X为k-
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实值函数是拓扑学中刻画某些空间的有力工具,很多空间类都可以用满足一定条件的实值函数刻画,如拓扑空间,正规空间、半层空间、完备正规空间等.如k-半层空间的一个刻画:X为k-半层空间当且仅当存在函数d:X×τc→[0,1],满足:(a)对每一 x ∈,当且仅当 x ∈ F,d(x,F)= 0;(b)若F,H ∈ τc 且,F(?)H,则 d(x,F)≥d(x,H);(c)对每一F ∈ τc,d(x,F)关于x上半连续且k-下半连续[1].本文中我们将利用实值函数给出完备正规空间、层空间的若干等价刻画.全文共分三个部分.第一章主要介绍基本概念和相关研究背景.第二章给出完备正规空间的若干实值函数刻画.主要结论为:对空间X,下列等价:(aa)X为完备正规空间.(b)存在映射Φ:L(X)→C(X),使得对每一h∈L(X),Φ(h)≤h,且若h(x)>0,则存在点x的开邻域Ox及r>D使得对任意x’ ∈,有 Φ((h)(x’)≥r(c)存在映射Φ:L(X):→ C(X),使得对每一h∈L(X),有Φ(h)≤h,且若h(x)>0,则Φ(h)(x)>0第三章给出层的若干实值函数刻画.主要结论为:对空间X,下列等价:(a)X为层空间;(b)存在保序映射:Ψ:L(X)→L(X),Φ:L(X)→UKL(X)使得对每一h∈L(X),有Ψ(h)≤Φ(h)≤h 且若h(x)>0,则Ψ(h)(x)>0;(c)存在保序映射:L(X)→ L(X),Φ:L(X)→ U(X),使得对任意h∈L(X),有Ψ(h)≤Φ(h)≤ h且若h(x)>0,则Ψ(h)(x)>0.
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