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解析函数是复分析中一个重要的研究对象,此类函数具有许多有用的性质,如:唯一性,积分与路径无关,延拓性等.作为解析函数的推广,拟共形映射是由Grotsch于1928年在研究Riem ann映射定理时提出来的,随后引起人们的极大关注.进一步,Beurli ng和Ahlfors的研究说明上半平面的拟共形映射在实轴上的限制具有很好的性质,这类映射被称为拟对称映射.拟对称映射的一般定义是由Tukia和Vais(?)l(?)于1980年给出.自此概念一问世,就成为一个重要的研究对象.很显然,拟对称映射一定是拟共形映射,故这类映射也是解析函数的推广.一个自然的问题是:此类映射是否还具有类似解析函数的延拓性质.这是本学位论文研究的第一个问题.1961年,John在研究平面局部拟等距映射的刚性性质时引进了John域的概念.自此,John域就成为了人们研究的一个热点.1999年,Vais(?)l(?)研究了欧氏空间中John域的扩张性.后来,此结果被推广到Banach空间情形φ-John域是比John域更广的一类域.人们自然会问:John域的扩张性是否对φ-John域还仍然成立?这是本学位论文研究的第二个问题.1978年,Marito和Sarvas在研究逼近和内射问题时引进了具有比John域更强性质的一类域,即一致域.Vuorinen于1985年根据一致域的双曲特征定义了一类新的域:φ-一致域.2015年,Hasto,Klen,Sahoo和Vuorinen在研究φ-一致域的一些几何性质时,提出了一个公开问题.这个公开问题是本学位论文的第三个研究问题.关于上述三个问题的研究构成此篇学位论文.本论文由四章组成,具体内容如下:在第一章中,我们介绍了研究问题背景和所得主要结果.第二章,我们研究了第一个问题,即Banach空间中拟对称映射的延拓性.证明了在一定条件下,两个集合上的拟对称映射在其并上还具有拟对称性.该结果推广了Vais(?)l(?)于1991年发表在Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.上的相应结果.第三章,我们讨论了φ-John域的扩张性,即第二个研究问题.证明了 Banach空间中两个φ-John域的并在一定条件下仍为φ’-John域.该结果推广了李雅湘和王仙桃于2010年发表在Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.上的相应结果;第四章,我们研究了由Hasto,Klen,Sahoo和Vuorinen于2015年提出的公开问题.通过构造反例,我们给出此公开问题的否定回答.