【摘 要】
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这篇论文研究了二类无界自伴算子方程和一类有界自伴算子方程解的存在与多重性问题.论文由六章组成.第一章,我们简单介绍了论文的写作背景与主要结果,同时给出论文研究所需的一些预备知识.第二章、第三章和第四章,我们关注一类仅含有离散谱的半无界自伴算子方程.具体来说,第二章,利用指标理论和临界点理论,我们研究了次二次凸或者B-凹的算子方程解的存在条件,得到了四个存在性结果.第三章,利用指标理论、临界点约化法
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这篇论文研究了二类无界自伴算子方程和一类有界自伴算子方程解的存在与多重性问题.论文由六章组成.第一章,我们简单介绍了论文的写作背景与主要结果,同时给出论文研究所需的一些预备知识.第二章、第三章和第四章,我们关注一类仅含有离散谱的半无界自伴算子方程.具体来说,第二章,利用指标理论和临界点理论,我们研究了次二次凸或者B-凹的算子方程解的存在条件,得到了四个存在性结果.第三章,利用指标理论、临界点约化法和三个临界点定理,我们得到了算子方程三解存在性的四个结果.第四章,在非线性项排除偶性假设条件下,我们利用多临界点定理得到了算子方程无穷多解存在性的两个结果.特别的,作为应用,我们利用上述存在性结果,研究了满足广义周期边值与Sturm-Liouville边值条件的二阶哈密顿系统,得到了一些新的存在性和多重性结果.同时,给出一些例子说明我们结果的有效性.第五章,我们关注一类仅含有离散谱的无界自伴算子方程.利用指标理论和对偶作用原理,我们研究了具有共振的次二次凸算子方程解的存在性.将结果应用于满足Bolza边界值条件、广义周期边值条件和Sturm-Liouville边值条件等几个边值条件的次二次凸一阶或二阶哈密顿系统,得到了一些关于解的存在性或非平凡解的新定理.第六章,我们关注一类有界自伴算子方程.利用Ekeland变分原理和集中紧性原理,我们得到了这类算子方程一个非平凡解.作为应用,我们讨论了一阶哈密顿系统和二阶不定哈密顿系统的非平凡同宿轨道的存在性.
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