【摘 要】
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相场模型是一类主要用于描述两相界面扩散性质的数学模型。相场方程的数值模拟在实际应用中非常广泛。然而由于相场方程具有强非线性性、小参数、高阶性等特点,且满足一些特有的物理性质如能量递减性质,解析解很难求出,因此构建稳定有效的高精度数值方法对其求解具有重要意义。本文主要研究Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程这两类经典相场模型的高精度数值算法。具体内容如下:针对Allen-Cahn
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相场模型是一类主要用于描述两相界面扩散性质的数学模型。相场方程的数值模拟在实际应用中非常广泛。然而由于相场方程具有强非线性性、小参数、高阶性等特点,且满足一些特有的物理性质如能量递减性质,解析解很难求出,因此构建稳定有效的高精度数值方法对其求解具有重要意义。本文主要研究Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程这两类经典相场模型的高精度数值算法。具体内容如下:针对Allen-Cahn方程,建立基于重心插值配点法的三种高精度数值格式:有限差分配点格式、算子分裂格式、标量辅助变量（SAV）格式。首先,基于Crank-Nicolson格式和重心插值配点法,构造有限差分配点格式并给出半离散格式的相容性误差;其次,针对算子分裂格式,把方程分裂为线性子方程和非线性子方程,非线性子方程精确求解,避免非线性迭代,并给出格式的误差分析;之后,将SAV方法结合重心插值配点法,从而构造无条件能量稳定的SAV格式;最后,数值算例分别验证这三种格式的有效性和能量递减性质。针对Cahn-Hilliard方程,讨论基于重心插值配点法的两种高精度数值格式:重心插值配点格式、稳定化半隐配点格式。首先,给出时空方向均利用重心插值配点法离散,非线性项采用一般迭代方法的重心插值配点格式,该格式在时空方向均具有高精度;其次,构造时间上利用Crank-Nicolson格式,空间上采用重心插值的稳定化半隐配点格式;最后,数值实验表明提出两类格式的高精度和有效性。
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