【摘 要】
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几何学研究空间中几何元素(如凸集，曲面，子流形等)的大小(内在不变量)和弯曲程度(外在不变量)，即体积和曲率，这是最基本的研究对象．反过来体积与曲率之间的等式或不等式也决定了几
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几何学研究空间中几何元素(如凸集，曲面，子流形等)的大小(内在不变量)和弯曲程度(外在不变量)，即体积和曲率，这是最基本的研究对象．反过来体积与曲率之间的等式或不等式也决定了几何元素的性质．在微分几何中，超曲面作为一类特殊的微分子流形，是微分几何理论研究中一个相当活跃的领域．特别是在Rn+1中超曲面的研究比较丰富．E．Cartan活动标架法对于一般流形的研究则使微分几何进入了一个新的时代．它是研究微分流形的一个重要工具．对于Rn+1中超曲面的研究，主要研究其r阶中曲率Hr，r=1，…，n(关于主曲率的初等对称多项式)，尤其是对中曲率H1，纯量曲率H2，和Gauss—Kronecker曲率Hn的研究．当n=2时，即在R3中，就是我们常说的中曲率H，和Gauss曲率K．对于R3中的曲面，Gauss的一个惊人发现是：Gauss曲率是一个内在不变量．而Liebmann得到：R3中高斯曲率为常数的紧致连通曲面是球面．陈省身则利用以下两个引理给出了Liebmann定理的一个简单证明．
引理3.2设M是R3中处处为脐点的连通曲面，则M必为球面或平面的一部分．
引理3.3设M是Gauss曲率K为常数的紧致曲面，则K必大于零．
这两个引理可推广到超曲面情形：
定理3.4设M是欧氏空间Rn+1中完备连通的超曲面，若M是全脐点的，则M是超平面，或是n维超球面．
定理3.5设M是欧氏空间Rn+1中Gauss—Kronecker曲率Hn为常数的紧致超曲面，则Hn必大于零．
本文根据陈省身思想运用活动标架法对这两个定理给出简化证明．
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