有向图中有向圈的研究是近年来图论研究的热门问题之一,1978年Caccetta和Haggkvist给出了有向图中存在有向圈的一个猜想:rn个顶点且最小出度为d的有向图包含一个长度至多为[n/d]的有向圈.该猜想是有向图研究中的重要猜想之一,目前仍未解决.一个有向图是一个三元组G=(V(G),E(G),Φ)= 其中V(G)是非空的顶点集,E(G)是有向边集,Φ是对应关系,它使得G的每条有向边对应于G的有序顶点对(不必相异).定向图是指任意两个顶点之间至多只有一条有向边的有向图,即对简单图的一个定向.δ+(G= min{dG+(v)|∈ V(G)}表示有向图G的最小出度,δ-(G)=min{dG-(v)|v ∈ V(G)}表示有向图G的最小入度,δ0(G)= min{δ+(G),δ-(G)}表示有向图G的半度.Kelly,Kuhn和Osthus在研究Caccetta-Haggkvist的猜想时给出了定向图中存在定向圈的度条件,证明了:设l≥ 4是整数且3|l,对于n≥ ≥ 1010l,G是n个顶点的定向图,若δ0(G)≥[n/3]+ 1,则对G的任意一个顶点u,G中都存在一个长度为l的有向圈经过点v.同时Kelly,Kuhn和Osthus提出了这样一个猜想:设l≥ 4是正整数,k为不能整除l且大于等于2的最小整数,那么存在一个整数n0 = no(l),使得对任意的n≥ n0,n个顶点的定向图G,当δ0(G)≥[n/k/]+ 1时,G中都存在一个长度为l的有向圈.在本文,我们主要考虑定向图中圈的问题.本文的主要内容分为四个章节,其中第二章和第三章是本论文的主要工作.第一章,我们首先介绍一些基本的定义及概念、研究背景和进展以及本文的主要结果.第二章,我们主要考虑不含有向三角形的定向图中短圈问题,证明了:设0<ε<1,α ≥0.3014是实数,l是正整数且4 ≤l≤εn/(1-α)+ 2,G是n个顶点不含有向三角形的定向图,如果δ0(G)≥(α + ε)n,则对G中的任意顶点v,G都存在一个长度为l的有向圈经过v.第三章,我们主要研究顶点数充分大的定向图中较长圈问题,证明了:设η>0是实数,l≥ 7.332 × 107是整数且7|l,存在一个正整数n1-n1(η,l)对任意的n≥n1,n个顶点的定向图G满足δ0(G)≥(1 + η)n/7时,G中存在一个长度为l的有向圈.第四章,主要介绍了 Caccetta-Haggkvist猜想的近些年的研究结果和研究进展,证明了:设G是rn个顶点的定向图,如果G的基础图中没有三角形且δ0(G)>n/5 + 1,那么G中存在一个长度为4的有向圈.