薛定谔方程是近现代数学与量子物理以及量子化学研究中一个十分重要的偏微分方程,它在许多领域有着重大意义。诸如量子半导体、电磁波传播、地震偏移等等许多实际的问题都需要求出各种不同形式的薛定谔方程的数值解。然而给定一个薛定谔方程的初值问题,如何求得它的数值解仍然存在着许多相关问题。首先对于它的一个初值问题构造合适的边界条件就是研究它的数值解的开端。在众多实验物理和工程技术学者的眼里,在较大的区域上赋以零边界条件仍然是合适的做法,但是这样的做法的弊端在于不可能描述到跨度很长的时间,因为波形会传递到原先区域的边界上。如果要描述跨度较长的时间衍化问题,就必须要将原先的计算区域再次扩大,这不可避免的要耗费大量的人力财力。自上个世纪以来,众多偏微分方面的学者在试图构造合适边界条件,旨在在小区域上刻画较长跨度的时间衍化的薛定谔方程。本文在前人的基础上对这类问题展开研究工作。本文主要分为以下四个部分:第一部分,首先以较短的篇幅介绍薛定谔方程的背景知识,其次提供了几个分析方面的例子,最后简要概述了国内外对薛定谔方程的研究现状。第二部分,从一维线性薛定谔方程出发,首先构造了它的边界条件,包括准确边界条件和人工边界条件。描述了它们的离散方法,并且由此对衍生的初边值问题提供了离散格式。最后结尾给出了若干计算例子。第三部分,将一维问题拓展到高维,其中并没有直接对高维问题构造边界条件,而是对方程进行变换、处理,这样的方法旨在将高维问题化为一维问题来做。另一方面,我们也使用分裂理论更加直接的给出了高维问题的数值解法。第四部分,我们探讨了一些特殊的薛定谔方程,包括了一个非线性和线性的例子,它们和第二部分的讨论区分开来了。