本文的研究主要基于Amin在1993年所写的名为“离散时间的跳跃扩散过程下的期权定价”一文。在那里,Amin给出了一个弱收敛于带跳跃的连续股价过程的离散化模型,并给出了用倒推的方法为期权定价的公式。本文在这个模型的基础上,遵循Amin文中提到的两种跳跃的分布,给出了如何用倒推公式为期权定价的具体算法,并且利用Merton模型中的方法,推导了两种具体跳跃分布情形下的封闭公式,并在计算中比较了离散空间倒推的期权价格与解析解的值。本文的一大贡献在于给出了当跳跃存在的情况下,如何对期权进行避险保值。此时,市场是不完全的,这意味着完全的避险保值是不可行的。我们采用了“部分保值”的方法。我们并不要求为目标期权进行保值的投资组合在所有情形下都成功,只是要求在一定概率下成功。我们的保值计算基于指定概率下可能出现的股价,在每一期,根据当期股价和对下期价格的预期调整我们的投资组合。我们还给出了具体的Matlab程序,模拟了带有跳跃的股价波动过程,算出此过程下的保值投资组合,并且比较了我们的投资组合价值与目标期权的价值。数值模拟显示,在指定的两种跳跃分布下,我们的保值投资策略相当成功。本文的具体内容如下：1.介绍在这一部分,我们讨论了期权定价模型的历史演变以及为什么我们选择Amin的离散化模型作为我们讨论的框架。在离散化模型中,比较有名的是二叉树模型,它与连续股价过程的Black-Scholes模型相对应,都是只考虑股价的纯扩散过程,认为股价的波动是连续的,相邻期的股价只在很小范围内变动。二叉树模型将股价波动的最小值定义为基准量,并且认为下一期的股价只会向上或者向下变动一个基准量。Black-Scholes模型则认为股价的波动遵循对数正态分布。Merton的贡献是在Black-scholes模型中加入了一个同样为对数正态分布的跳跃,并且为殴式期权给出了此情形下的封闭公式。而Amin的贡献在于对离散空间的二叉树模型做了改进,加入了跳跃过程。他将向上或向下变动一个基准量的扩散定义为“局部变动”,而除此之外的其他扩散都认为是跳跃。我们选择Amin的模型作为起点主要基于以下两个考量：·在很多连续空间的模型中,如果出现的跳跃既不遵从对数正态分布,也不是离散的分布,那么解析公式并不存在。此外,如果存在早期行权的可能,那么解析解也很难找到。美式期权的定价就是一个很好的例子。在这些解析解不存在的情形下,一个离散化的股价过程对于我们研究期权的定价就尤为有利。·在离散时间的模型中,离散化的方法有很多种,只要可以保证他们弱收敛于连续时间下的股价波动过程,那么由离散模型计算出来的期权价格就弱收敛于连续时间情形下的真解。而Amin的模型是一个既简单又弱收敛的模型。这利于我们后面的避险保值策略的讨论以及相应的数值计算和模拟。本文的主要构成如下：第二节,我们介绍了Amin模型并引用了他的主要结论,给出了离散时间的倒推公式的推导及结论。第三节,我们介绍了Amin如何构建离散化的股价空间以及相应的转换概率该如何定义。第四节,在Amin离散模型的基础上,我们介绍了如何应用“部分保值”理论去为目标期权建立我们的避险保值组合,并给出了具体的对于债券和股票投资份额的公式。第五节,我们解释了如何用Matlab去实现结点倒推,来计算期权价格。我们给出了两种跳跃的分布,对数正态分布以及二元分布,并且分别计算了在这两种跳跃分布情形下,相应的欧式买权,欧式卖权,美式买权以及美式卖权的价格。我们还推导了这两种跳跃分布下的封闭公式,并且比较了我们的倒推公式与封闭公式的计算结果。为了保证这种比较的全面性,我们给出了不同的行权价格下的期权价值。结果显示,我们的离散倒推模型与封闭公式结果很接近。第六节,我们解释了如何应用在第二节中分析过的避险保值策略。我们首先模拟了股价的波动过程,然后逐个结点的计算下一期的投资组合。每期具体的投资组合显示在图表中,投资组合的表现也画图表示。第七节,我们对本文的分析做了总结并提出了一些可以改进的问题和进一步可以拓展的研究方向。2. Amin的离散模型在这一节里,我们首先定义了无风险利率,股票红利,债券价格和股票价格,区分了“局部波动”和跳跃。限定在“局部波动”的情形下,我们假设期初投资在所有期权、股票和债券的价值之和为零。我们希望这是一个无风险组合,所以下一期时,不论股价是向上还是向下波动一个基准量,这个投资组合的价值都应该相等。据此,我们算出了应该投资在股票中的份额。在做了一些替换之后,我们将下一期的投资组合价值写成了下一期两种情形下期权价值的函数,并将相应于较高股价的期权价格的系数定义为p,即股价发生向上的局部波动的概率。然后我们考虑发生跳跃的情形,认为下一期此投资组合的期望应该为零,据此,我们可以将当期的期权价格写成下一期期权价格的函数,并且给出在风险中立的概率空间下,发生向上局部波动的概率。最后,我们分别给出了风险中立空间下欧式和美式期权价格的倒推公式。3. Amin的离散化的股价跳跃扩散过程在这一节里,我们介绍了Amin是如何完成有跳跃情形下的股价离散化。我们先简单列出了Merton模型在未指定跳跃分布情形下的股价公式。并将其转化成风险中立概率空间的表达式。这样,我们就可以不用考虑股价本身的预期收益,而只需考虑市场的无风险利率。我们将基于对数正态分布和扩散的股价变动转化成它们的底数形式,记为X,这样X就服从正态分布。我们给出了如何将X离散化的过程,并且定义了从本期的一个结点变动到下期某个结点的转换概率在定义转换概率时,我们区分了“局部波动”和跳跃两种情形。根据Merton模型中对跳跃的假设,在总成熟期内跳跃的次数服从Poisson分布。所以本期到下一期发生跳跃的概率就是跳跃密度与时间步长的乘积。我们之前已经定义了不发生跳跃的限定条件下,两种局部波动的条件概率。接下来,我们只需要针对每个跳跃,定义好它的概率。这个概率与跳跃的分布函数有关,在这一节里,我们只是简单的用函数来代表,具体化的过程详见后面第五节和第六节的计算。我们将每个结点上下半个基准量范围的总概率指定给每个结点。对于结点0,即相应于股价没有任何变动的结点,我们依旧认为这是跳跃的一种,所以把跳跃总概率函数里相应于上下局部波动的概率都分配给结点0。我们还利用Taylor展开分析了向上局部波动的概率,并得出它收敛于0.5如果时间步长足够小。4.有跳跃的股价波动下的避险保值策略在这一节里,我们根据Amin的离散空间,给出了如何构建一个有效的避险保值组合的方法。如前所述,当有跳跃存在时,市场是不完全的,不存在完全保值策略,因为我们只有两种资产,而可能出现的情形有无数种。我们参照“部分保值”的理论(quantile hedging)，选择一个我们可以接受的成功概率,保证我们的投资组合可以以不小于这个概率的成功率,达到保值。亦即,我们的投资组合的价值会不低于在这个概率下可能出现的股价所相应的期权价值。具体做法如下：我们假设所要构建的保值组合是自我融资,我们只需要在一开始投资,而中间对不同资产的投资份额做调整,并不追加投资,也不撤出资金。在每一期开始时,我们根据当期的股票价格和对下一期的股价预期来调整我们的投资份额。根据自我融资的定义,我们当期的份额相应于当前股价的总价值(即投资组合的当期价值)应该等于调整后的份额相应于当前股价的总价值。由于我们要求的是下一期对于债券和股票的投资,有两个未知数,我们只需要再找一个方程即可。按照“部分保值”的做法,我们可以先根据预定的概率确定下一期出可能出现的股价情形,这是一个有界空间。我们只需要保证,所要构建的保值组合在下期的值应该大于等于这个有界的股价空间所对应的最大的期权价值。对于买权,这相应于最高股价的结点,对于卖权,这相应于最低股价的结点。取等号后再联立由自我融资的限定所得到的方程,我们就可以解出下一期的投资份额。应当注意,对于美式期权，这种保值策略停止于可以提前行权的时刻。5.用Matlab计算期权价格在这一节里,我们给出了两种具体的跳跃分布,对数正态分布以及二元分布。并且将计算限定在一个有界的股价空间里。我们首先给出成熟时的期权价值,是它的内在价值,即行权收益与零之中较大的那个。同时,我们指定相应于有界股价空间的上下边界的期权价值也为它的内在价值。然后实施倒推过程。对于前一期的每一个股价结点,它对应的期权价格都是后一期期权价格相应于跳跃分布的期望再折现。我们只考虑在4个标准差之内的扩散,超出四个标准差之外的概率被平均分配到了4个标准差范围的上下端点。如果4个标准差之内的扩散超出了我们的有界股价空间,我们就选择有界空间内的那部分结点求期望,而多出来的概率就被分配到边界上被截断的那点。我们不断的从成熟期向起点倒推,可以求出起初的期权价格。如果是美式期权,我们还要在每个结点对折现的期望值和即期行权价进行比较,选择大的那个。值得一提的是,我们的股价空间不是对称的,由于对数正态分布的特征,处于空间顶端的结点可以无限增长,而出于底部的结点却逼近于0。而我们的转换概率空间却是对称的。对于跳跃是对数正态分布的情形,由于跳跃对应的结点很多,这种不对应的影响不明显,但对于跳跃是二元分布的情形,这种不对应对于买权的影响就比较明显。因为买权是价格较高时行权有利,故期权价值高。我们有界空间上方截断的部分股价相应的期权价值要高于下方截断部分,这会导致我们离散倒推出来的买权价值偏低。本文建议通过构建不对称的股价空间解决这个问题。在这一节,我们还推导了两种跳跃下的封闭公式,并比较了不同行权价格下封闭公式的值和我们离散模型的值。详见四个表格。6.用Matlab模拟保值投资策略在这一节里,我们通过一个模拟的股价过程来构建我们的保值组合,并且展示了它的表现。首先,我们要模拟股票价格的波动过程。根据我们之前的分析,在成熟期以前所有的跳跃次数服从Poisson分布。我们先产生一个Poisson随机量作为对跳跃次数的模拟,记为njump,我们再从整个时间的均匀分布中抽出njump个随机数作为对具体跳跃时间的模拟。然后让股价从起初开始波动。如果当前时间与模拟出的跳跃时间不同,那么我们认为这是一次“局部波动”,让股价随意向上或向下变动一个基准量,如果当前时间正是发生跳跃的时间,我们根据不同的跳跃分布来模拟处一个跳跃。当股价的波动过程模拟好后,我们开始构建保值组合。在每个时间点,我们考虑下一个时间点可能出现的股价,根据自我融资和下一时点最高的期权值来算出下一期的投资。这里期权值的计算可以调用我们在前一节里编号的函数,只需改动初始股价和成熟时间。最后,我们计算出相应于模拟出的股价的期权价格以及我们的投资组合的价值,并画图将他们进行比较。结果显示,我们的投资策略在两种跳跃和美式、欧式、买权、卖权的情形下都很成功。文中只列出了三种情况。我们还用图表示了不同时刻的投资组合。通常,为了对一个买权避险,我们应该卖掉债券,买股票。对股票的投资介于0到1之间。相反,为了对一个卖权避险,我们需要卖掉股票买债券。对股票的投资介于-1到0之间。在我们的例子中,对于欧式卖权在对数正态分布跳跃情形下的避险组合比较有趣,由于在最后时刻股价发生了很大的跳跃,对股票的投资有负变正了。7.总结本文在Amin的离散时间跳跃扩散过程的框架下给出了具体的期权定价的计算,并讨论了改如何构建避险组合,并且用具体的Matlab程序实施了对避险组合的模拟。文中还有一些值得改进和进一步探讨的地方：如我们在第五节所说,离散模型在对买权定价是并不像对卖权定价那么理想。因为卖权价值高的部分是股价接近0的时候,被截掉的那部分概率总和被重新分配到了股价空间的边界,而我们的下边界本来就很接近0。但是对于买权,它的上升空间是无限的,上方截断的那部分股价对应的概率虽然很小,但是它们相应的买权价值却很高。我们把高价值部分的概率重新分配给了上边界,买权在上边界的值远小于被截断部分的值。这就导致了对买权的定价整体偏低。本文所建议的解决方案是改变我们的有界股价空间,使上方的结点多一些。在避险组合部分,我们的计算只考虑了概率,却忽略的价值。我们考虑了大部分可能出现的股价,针对它们做了避险,虽然股价超出这个范围的可能性很小,但是一旦超出,相应的期权价格和我们的投资组合就会相差很大。在数值模拟的过程中,因为我们调用了离散模型的函数来计算美式期权价格,每一次调用本身都涉及到大量的运算,这就限制了我们将模拟的时间结点取的很多。这样一来,我们很少能看到早期行权的情形。文中只讨论了两种跳跃的分布,还应该有其他的跳跃分布。本文的分析可以被推广到更一般的情形。但是正如我们提到的,其他情形的跳跃分布可能导致没有封闭公式的存在。这会使我们缺少一个比较的标杆。我们还应该考虑其他的跳跃分布是否有实际的涵义。除此以外,文中对于股价本身的纯扩散过程的假设也可以更改到更一般的情形,而不仅局限在对数正态分布的情况。我们也可以在本文给出的程序的基础上,做一些情景分析,改变一些参数的值,看看期权价格有什么变化,对避险保值策略有何影响。更深入的讨论可以基于模型的离散化过程。Amin的离散过程只是很简单的一种,读者可以做更多复杂的假设和离散,然后讨论新的框架下如何定价,如何保值。