本论文主要研究的是图在曲面上的嵌入.分为两大部分,第一部分（包括第二章,第三章和第四章）,在第二章的基础上,第三和第四章深入分析Stiebitz等人于[Journal of Combinatorial Theory, Series B 96 （2006） 20-37]提出的猜想：设K是完全图,H是任意图.G是K和H边不交的并,H’是从G通过收缩V（K）成一个顶点所得到的图.那么,把图嵌入曲面上,得到图的最小亏格嵌入曲面,然后利用嵌入曲面的组合表示及多边形表示,对其相应的性质进行研究,获得了具有某些性质的图的等式和不等式.第二部分（包括第五章,第六章和第七章）,讨论了图在曲面上嵌入的分类,即确定图在同一曲面上（不等价的）嵌入的数目.这一问题是拓扑图论中关于图的嵌入的研究中的重要问题.文中所讨论的图均为连通图,曲面为无边缘的紧2-维流形.图G在曲面S上的一个嵌入是指存在一个1-1连续映射h：G→S,使得S-h（G）的每个连通分支均为一个2-胞腔.此种嵌入也被称为胞腔嵌入.每一个连通图G的最小亏格嵌入一定是胞腔嵌入.图G在可定向曲面S上的两个嵌入h：G→S和g：G→S被称为是等价的是指存在一个保定向同胚f：S→S使得foh=g.对这一问题的研究可追溯到Gross和Furst在上世纪八十年代对图的嵌入的不变量的研究,之后很多学者便围绕这一问题进行了研究及拓展.第一章首先对图论发展作了一简要的回顾,然后对拓扑图论的发展起了重大作用的Heawood问题作了简要介绍.随后,对曲面嵌入的相关概念及研究背景,曲面的多边形表示及嵌入的联树模型做了详细介绍.最后,对文章结构及各章内容进行了简介.第二章以联树模型及曲面的多边形表示作为基础,研究了图的最小亏格嵌入曲面的多边形表示及其相互关系,证明了两个著名的与图的亏格有关的定理.第三章对猜想进行了研究,应用组合的方法把图嵌入到曲面上,构造性地证明了定理3.1,然后利用边不交的两图并与顶点不交的两图并的关系,从而获得了定理3.2：设K是n阶的Hamilton图,H是m阶的任意图, G是图K和图H的边不交的并图.H’是图G通过收缩V（K）成一个单个顶点而获得的图.那么,因为完全图是Hamilton图,从而由定理3.2我们可以推出猜想成立.第四章继续对猜想进行深入的研究,以联树模型及曲面的多边形表示作为基础,用曲面的多边形代数表示的方法,证明了定理4.1,然后利用边不交的两图并与顶点不交的两图并的关系,从而获得了定理4.2：设K是一个具有阶n的连通图,H是一个具有阶m的任意图,G是图K和图H的边不交的并图.H’是图G通过收缩V（K）成一个单个顶点而获得的图.那么,因为完全图是连通图,从而由定理4.2我们可以推出猜想成立.第五章以梯形图已有的结果为基础,把相应的关联曲面分为11类,用曲面分类的方法研究了珍珠梯图的亏格分布.第六章以梯形图已有的结果为基础,用曲面生成和曲面分类的方法,分别研究了梯中梯图的亏格分布.第七章对于类苯结构图进行了研究.根据这类图的联树,应用满足这些联树的关联曲面的两种变换,我们把相应的关联曲面分为10类.以此为基础,得到了类苯结构图的亏格分布.第八章提出了一些有待于进一步研究的问题.